ماتریس

ماتریس به آرایشی مستطیلی شکل از اعداد یا عبارات ریاضی که به صورت سطر و ستون شکل یافته گفته می شود. به طوری که می توان گفت که هر ستون یا هر سطر یک ماتریس، یک بردار را تشکیل می دهد. هر یک از عناصر ماتریس دِرایه خوانده می شود. ماتریسی با ۲ سطر و ۳ ستون به این شکل است:
جبر خطی
عملگر
ماتریس هرمیتی
ماتریس هادامارد
ضرب ماتریس ها
ماتریس های هم اندازه (با تعداد سطر و ستون برابر) را می توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد. ضرب دو ماتریس تنها در صورتی ممکن است که تعداد ستون های ماتریس نخست با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.
در جبر خطی، می توان اثبات کرد که هر نگاشت خطیِ، از فضای R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} به فضای R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} ، یک ریخت با یک ماتریس m × n {\displaystyle m\times n} (m سطر و n ستون) می باشد. ماتریس ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند.
یکی از کاربردهای ماتریس ها در حل دستگاه معادلات خطی ست. اگر ماتریس مربعی باشد، برخی مشخصات آن را می توان از دترمینان آن دریافت. برای نمونه یک ماتریس مربعی معکوس پذیر است اگر و تنها اگر دترمینان آن ناصفر باشد.مقدار ویژه و بردار ویژه اطلاعاتی دربارهٔ هندسهٔ نگاشت های خطی می دهند.

ماتْریس (matrix)
ماتْریس
در ریاضیات، آرایهای مستطیلی، شامل m سطر و n ستون، یا مربعی شامل n سطر و n ستون، از اعداد یا عبارت های جبری. این اعداد و عبارات عناصر یا درایه های ماتریس نامیده می شوند. ماتریس برای تسهیلِ بررسی مسائلی به کار می رود که در آن ها رابطۀ بین این عناصر مهم است. در واقع، ماتریس وسیله ای برای فشرده سازی اطلاعات دستگاه های ریاضی است و در موارد متعدد، ازجمله برای حل دستگاه های معادلات خطی (← دستگاه معادلات)، به کار می رود. فایدۀ ماتریس در این است که به جای درنظرگرفتن تعدادی کمیت جداجدا، به آرایشی از همۀ آن ها یک نماد نسبت داده و آن را از نظر جبری مطالعه می کنند. این نماد معمولاً یکی از حروف بزرگ الفبای لاتین است و درایه های ماتریس را هم معمولاً با حرف کوچک متناظر، همراه با زیرنویس های نشان دهندۀ سطر و ستون درایه، نشان می دهند. مثلاً ، ماتریس را با Aو درایه های آن را aij می نمایانند که به معنیِ درایۀ واقع در سطر i ام و ستون j ام است. ماتریس را نیز گاه با نشان می دهند. اندازه یا مرتبه ماتریس برحسب تعداد سطرها و ستون های آن بیان می شود، مثلاً ماتریسی که سه سطر و دو ستون دارد، ماتریسی ۲×۳ است. به طور کلی، ماتریسی با m سطر و n ستون را ماتریس m×n می گویند. ماتریسی که تعداد سطرها و ستون هایش برابر باشد، ماتریس مربعی نامیده می شود و مرتبۀ آن تعداد سطرها یا ستون هایش است. به هر ماتریس مربعی عددی به نام دترمینان نسبت می دهند. دو ماتریس A و B را برابر گویند، اگر تعداد سطرهای شان باهم و تعداد ستون های شان باهم برابر و به ازای هر i و هر j تساوی aij = bij برقرار باشد. مجموع دو ماتریس A و B، که هر دو m×n باشند، ماتریسی m×n چون S=A+B است که هر درایۀ sijواقع در سطر i ام و ستون j ام آن، برابر aij + bij، یعنی مجموع درایه های A و B در سطر و ستون متناظر، است. حاصل ضرب اسکالر عدد c در ماتریس A ماتریسی است که با cA یا Ac نشان داده می شود و درایه های آن عبارت اند از caij. برای ضرب ماتریس ها باید تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل ضرب ماتریس A در ماتریس B ماتریسی است مانند C که تعداد سطرهایش برابر تعداد سطرهای A و تعداد ستون هایش برابر تعداد ستون های B است، یعنی اگر A ماتریسی m×n و B ماتریسی n×p باشد، C ماتریسی m×p است. درایۀ cijواقع در سطر i ام و ستون j ام C به این طریق به دست می آید که درایۀ اول سطر i ام A در درایۀ اول ستون j ام B، درایۀ دوم سطر i ام A در درایۀ دوم ستون j ام B، و به همین ترتیب، ضرب می شود و حاصل ضرب ها را با هم جمع می کنند یعنی cij = ai۱ b۱j + ai۲b۲j + .... + ain bnj. نظریۀ اولیۀ ماتریس را عمدتاً آرتور کیلی (۱۸۲۱ـ ۱۸۹۵)، ریاضی دان بریتانیایی، ابداع کرد، ولی واضع اصطلاح ماتریس ریاضی دان معاصر کیلی، جیمز سیلوستر (۱۸۱۴ـ ۱۸۹۷)، بود.