تابع دلتای دیراک

در ریاضیات و علوم، تابع دلتای دیراک، یا تابع δ {\displaystyle \delta } ، یک تابع تعمیم یافته، یا توزیع، روی محور اعداد حقیقی است که همه جا مقدار صفر دارد به جز در صفر، و روی کل محور حقیقی انتگرالی با مقدار یک دارد. تابع دلتا را گاهی به این صورت در نظر می گیرند: تابعی فرضی که منحنی اش در مرکز مختصات میخی به طور نامحدود بلند، و به طور نامحدود باریک است، با مساحت کل برابر با یک در زیر میخ، و از لحاظ فیزیکی نمایان گر یک جرم نقطه ای یا بار نقطه ای ایده آل شده.
جواب بنیادین
تابع گرین
این تابع شکل خاصی از ضربهٔ واحد است که اولین بار توسط فیزیکدان انگلیسی پاول دیراک مطرح شد و به نام او نامگذاری گردید.
این تابع که با حرف یونانی دلتا δ {\displaystyle \delta } نمایش داده می شود، در نقطهٔ x = 0 {\displaystyle x=0} مقداری برابر بی نهایت و در دیگر نقاط مقداری برابر با صفر دارد و در نتیجه انتگرال آن نیز روی بازهٔ منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت برابر یک خواهد بود.
باید توجه داشت که تابع دلتا با وجود اینکه با عنوان تابع خوانده می شود، در مفهوم، تابع نیست و بیشتر به یک تابع توزیع که در علم آمار کاربرد دارد، شبیه است. به عنوان مثال ضربهٔ یک چوب بیسبال به توپ در زمان کوتاهی که می توان آن را صفر محسوب کرد، وارد می شود. در نتیجه در این زمان نیروی واردشده به توپ به صورت یک تابع ظاهر نمی شود.