مشتق دوم یا مشتق مرتبه دو، مشتقِ مشتق تابع f می باشد. به طور کلی، مشتق دوم دربارهٔ چگونگی نرخ تغییرات یک کمیت است. برای مثال، مشتق دوم معادله مکان یک وسیله نقلیه، شتاب لحظه ای آن را نتیجه می دهد.
اگر f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0} باشد آنگاه f {\displaystyle \ f} در آن نقطه ماکسیمم نسبی است.
اگر f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0} باشد آنگاه f {\displaystyle \ f} در آن نقطه مینیمم نسبی است.
اگر f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0} باشد آنگاه آزمون مشتق دوم پاسخی ندارد و باید به سراغ آزمون مشتق اول رفت.
در نمودار یک تابع، مشتق دوم انحنا یا تقعر یک تابع را مشخص می کند. اگر مشتق دوم یک تابع در بازه ای مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا، اگر مشتق دوم منفی باشد تقعر رو به پایین و اگر مشتق دوم صفر باشد تابع در آن بازه تقعری ندارد.
d 2 d x 2 = d d x d d x = d d x = n d d x = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}={\frac {d}{dx}}=n{\frac {d}{dx}}=n(n-1)x^{n-2}.}
مشتق دوم تابع f ( x ) {\displaystyle f(x)\!} را با نماد f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)\!} نشان می دهند.
اگر f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0} باشد آنگاه f {\displaystyle \ f} در آن نقطه ماکسیمم نسبی است.
اگر f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0} باشد آنگاه f {\displaystyle \ f} در آن نقطه مینیمم نسبی است.
اگر f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0} باشد آنگاه آزمون مشتق دوم پاسخی ندارد و باید به سراغ آزمون مشتق اول رفت.
در نمودار یک تابع، مشتق دوم انحنا یا تقعر یک تابع را مشخص می کند. اگر مشتق دوم یک تابع در بازه ای مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا، اگر مشتق دوم منفی باشد تقعر رو به پایین و اگر مشتق دوم صفر باشد تابع در آن بازه تقعری ندارد.
d 2 d x 2 = d d x d d x = d d x = n d d x = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}={\frac {d}{dx}}=n{\frac {d}{dx}}=n(n-1)x^{n-2}.}
مشتق دوم تابع f ( x ) {\displaystyle f(x)\!} را با نماد f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)\!} نشان می دهند.
wiki: مشتق دوم