مسائل هیلبرت شامل بیست وچهار سؤال ریاضی است که در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضی دان آلمانی دیوید هیلبرت منتشر شد. مسائل همگی در آن زمان حل نشده بودند و بعضی از آن ها تأثیر بسزایی بر ریاضیات قرن بیستم گذاشتند. هیلبرت ۱۰ تا از این سؤالات (۱ ،۲ ،۶ ،۷ ،۸ ،۱۳ ،۱۶ ،۱۹ ،۲۱ و ۲۲) را در کنگره جهانی ریاضیدانان، در هشتم اوت در سوربن پاریس ارائه کرد. لیست کاملی از ۲۳ سؤال بعدها در مجلهٔ انجمن ریاضی آمریکا عمدتاً با ترجمهٔ انگلیسی ماری فرانسیس وینستون نیوسون آمد.
Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1.
Thiele, Rüdiger (2005). "On Hilbert and his twenty-four problems". In Van Brummelen, Glen. Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21. pp. 243–295. ISBN 0-387-25284-3
Dawson, John W. Jr (1997). Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. pp. A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
Matiyasevich, Yuri (1993). Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. pp. An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0-262-13295-8.
Nagel, Ernest; Newman, James R. (2001). Douglas Hofstadter, ed. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. ISBN 0-8147-5816-9.
Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer-Verlag, New York. ISBN 978-0-387-94678-8.
مسائل هیلبرت از لحاظ محتوا و دقت متفاوت هستند. بعضی از آن ها مانند سؤال سوم (احتمالاً راحت ترین سؤال برای درک توسط غیرمتخصص ها و اولین سؤال حل شده از بین مسائل) یا سؤال مشهور هشتم (فرضیهٔ ریمان)، به اندازه ای دقیق تعریف شده اند که جوابی روشن برای رد یا قبولشان وجود دارد. مسائل دیگری (مانند مسئلهٔ ۵) وجود دارند که متخصصان به تفسیری واحد از مسئله رسیده اند و پاسخی نیز برای آن تفسیر ارائه شده ولی به نظر می رسد هنوز بخشی از مسئله که شاید مورد نظر هیلبرت نیز بوده بدون حل باقی مانده است. گاهی بیان هیلبرت به اندازه ای دقیق نیست که مسئله مشخصی را مشخص کند ولی باعث تعریف مسائل مشخصی در حیطهٔ مورد نظر شده است. برای مثال بسیاری از دانشمندان حوزهٔ نظریهٔ اعداد احتمالاً سؤال ۹ام را اشاره ای به تناظر Langland به نمایندگی از گروه گالوایی مطلق یک میدان عددی می دانند. مسائل دیگری (مانند مسئله ۱۱ام و ۱۶ام) مورد توجه رشته های فرعی در حال پیشرفت ریاضی مانند نظریه فرم های درجه دوم و خم های جبری حقیقی قرار گرفته اند.مسائل ۶ام و ۴ام نه تنها هنوز حل نشده اند بلکه با توجه به استانداردهای جدید قابل حل نیستند. مسئلهٔ ششم، ساختاری اصول مند برای فیزیک می خواست، که با توجه به پیشرفت های قرن بیستم فیزیک (از جمله اینکه به عنوان شاخه ای مستقل از ریاضی شناخته شد) به نظر می رسد دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. همچنین سؤال چهارم که ساختار هندسه را در نظر داشت به نظر می رسد که دیگر جواب قطعی ندارد.بیست ویک مسئلهٔ دیگر همگی مورد توجه زیاد ریاضی دانان قرار گرفتند و کار روی آن ها اهمیت زیادی داشت به گونه ای که پائول کوهن برای کارش روی مسئلهٔ اول در سال ۱۹۶۶ و ماتیاسویچ برای ارائهٔ پاسخ منفی سؤال دهم (ادامهٔ کار دیویس، پوتنام، رابینسون) در سال ۱۹۷۰ مدال فیلد گرفتند، و اثبات تقیض راه حل مسئلهٔ دهم در دههٔ ۱۹۷۰ توسط ماتیاسویچ نیز فیلد را به خود اختصاص داد. جنبه های این مسائل همچنان یکی از مورد علاقه ترین زمینه های تحقیق امروزی است.
بعضی از مسائل هیلبرت به گونه ای عجیب یا حتی اذیت کننده برای هیلبرت حل شده اند. هیلبرت پیرو فرگه و راسل به دنبال تعریف منطقی با استفاده از سیستم فرمال، یعنی اثبات هایی متناهی از اصول موضوعهٔ پذیرفته شده، برای ریاضیات بود. یکی از مسائل هیلبرت (مسئلهٔ دوم) در واقع خواستار اثباتی متناهی برای استحکام اصول موضوعهٔ منطق است. به هر حال تئوری عدم کمال دوم گودل با دقت نشان می دهد که می توان ثابت کرد که چنین اثبات متناهی برای استحکام منطق غیرقابل ارائه است. هیلبرت ۱۲ سال بعد از گودل زندگی کرد ولی به نظر نمی رسد جواب رسمی به کارهای گودل نوشته باشد. بدون شک کارهای گودل بر روی کل ریاضیات (و نه تنها منطق) بسیار حائز اهمیت است هر چند که باعث حل شدن عجیب و شاید ناراحت کنندهٔ یکی از سؤالات هیلبرت شد.مسئلهٔ دهم هیلبرت نمی پرسد که آیا الگوریتمی برای حل معادلهٔ دیوفانتی وجود دارد یا نه. بلکه ساختار چنین الگوریتمی را مورد نظر دارد. «ارائهٔ پروسه ای که با انجام متنهای عمل بتوان معین کرد که آیا یک معادله در اعداد گویا قابل حل است یا خیر.» حل این مسئله که نشان می داد چنین الگوریتمی وجود ندارد برای وی بسیار عجیب بود.با توجه به نظر وی که هر مسئلهٔ ریاضی حتماً راه حلی دارد او این اجازه را داد که راه حل مسئله اثبات این باشد که حل مسئله اصلی امکان پذیر نیست. مشهور است که او بیان کرده مهم این است که آیا راه حلی وجود دارد یا نه؛ و او عقیده داشت که ما همواره می توانیم این نکته را بفهمیم. یعنی در ریاضیات گزارهٔ دارای ابهام (گزاره ای که هرگز ارزش درستی آن معلوم نشود) وجود ندارد. واضح نیست که آیا او پاسخ سؤال دهم را دارای ابهام تلقی کرده است یا نه: آنچه که ما اثبات نمی کنیم که مسئله پاسخ طبیعی ندارد بلکه تنها می توانیم بفهمیم که آیا مسئله در حالت کلی دارای جواب است یا خیر.از سوی دیگر وضعیت مسئلهٔ اول و دوم پیچیده تر است. هیچ اتفاق نظر واضح ریاضی وجود ندارد که آیا نتایج گودل (در مورد سؤال دوم) یا گودل و کوهن (در مورد سؤال اول) جواب منفی قطعی به مسئله می دهند یا نه. از آنجایی که این راه حل ها به شکل خاصی از سؤال جواب می دهند و ممکن این شکل بندی تنها شکل بندی موجود برای این دو مسئله نباشد.
هیلبرت در واقع ۲۴ مسئله در لیستش آورده بود ولی از انتشار سؤال بیست وچهارم جلوگیری کرده بود. مسئله بیست وچهارم (ملاکی برای سادگی در نظریهٔ اثبات) توسط رودیگر تیله تاریخ دان آلمانی از دست نوشته های هیلبرت به دست آمد.
Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1.
Thiele, Rüdiger (2005). "On Hilbert and his twenty-four problems". In Van Brummelen, Glen. Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. 21. pp. 243–295. ISBN 0-387-25284-3
Dawson, John W. Jr (1997). Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. pp. A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
Matiyasevich, Yuri (1993). Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. pp. An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0-262-13295-8.
Nagel, Ernest; Newman, James R. (2001). Douglas Hofstadter, ed. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. ISBN 0-8147-5816-9.
Reid, Constance (1996). Hilbert. Springer-Verlag, New York. ISBN 978-0-387-94678-8.
مسائل هیلبرت از لحاظ محتوا و دقت متفاوت هستند. بعضی از آن ها مانند سؤال سوم (احتمالاً راحت ترین سؤال برای درک توسط غیرمتخصص ها و اولین سؤال حل شده از بین مسائل) یا سؤال مشهور هشتم (فرضیهٔ ریمان)، به اندازه ای دقیق تعریف شده اند که جوابی روشن برای رد یا قبولشان وجود دارد. مسائل دیگری (مانند مسئلهٔ ۵) وجود دارند که متخصصان به تفسیری واحد از مسئله رسیده اند و پاسخی نیز برای آن تفسیر ارائه شده ولی به نظر می رسد هنوز بخشی از مسئله که شاید مورد نظر هیلبرت نیز بوده بدون حل باقی مانده است. گاهی بیان هیلبرت به اندازه ای دقیق نیست که مسئله مشخصی را مشخص کند ولی باعث تعریف مسائل مشخصی در حیطهٔ مورد نظر شده است. برای مثال بسیاری از دانشمندان حوزهٔ نظریهٔ اعداد احتمالاً سؤال ۹ام را اشاره ای به تناظر Langland به نمایندگی از گروه گالوایی مطلق یک میدان عددی می دانند. مسائل دیگری (مانند مسئله ۱۱ام و ۱۶ام) مورد توجه رشته های فرعی در حال پیشرفت ریاضی مانند نظریه فرم های درجه دوم و خم های جبری حقیقی قرار گرفته اند.مسائل ۶ام و ۴ام نه تنها هنوز حل نشده اند بلکه با توجه به استانداردهای جدید قابل حل نیستند. مسئلهٔ ششم، ساختاری اصول مند برای فیزیک می خواست، که با توجه به پیشرفت های قرن بیستم فیزیک (از جمله اینکه به عنوان شاخه ای مستقل از ریاضی شناخته شد) به نظر می رسد دیگر اهمیت زمان هیلبرت را ندارد. همچنین سؤال چهارم که ساختار هندسه را در نظر داشت به نظر می رسد که دیگر جواب قطعی ندارد.بیست ویک مسئلهٔ دیگر همگی مورد توجه زیاد ریاضی دانان قرار گرفتند و کار روی آن ها اهمیت زیادی داشت به گونه ای که پائول کوهن برای کارش روی مسئلهٔ اول در سال ۱۹۶۶ و ماتیاسویچ برای ارائهٔ پاسخ منفی سؤال دهم (ادامهٔ کار دیویس، پوتنام، رابینسون) در سال ۱۹۷۰ مدال فیلد گرفتند، و اثبات تقیض راه حل مسئلهٔ دهم در دههٔ ۱۹۷۰ توسط ماتیاسویچ نیز فیلد را به خود اختصاص داد. جنبه های این مسائل همچنان یکی از مورد علاقه ترین زمینه های تحقیق امروزی است.
بعضی از مسائل هیلبرت به گونه ای عجیب یا حتی اذیت کننده برای هیلبرت حل شده اند. هیلبرت پیرو فرگه و راسل به دنبال تعریف منطقی با استفاده از سیستم فرمال، یعنی اثبات هایی متناهی از اصول موضوعهٔ پذیرفته شده، برای ریاضیات بود. یکی از مسائل هیلبرت (مسئلهٔ دوم) در واقع خواستار اثباتی متناهی برای استحکام اصول موضوعهٔ منطق است. به هر حال تئوری عدم کمال دوم گودل با دقت نشان می دهد که می توان ثابت کرد که چنین اثبات متناهی برای استحکام منطق غیرقابل ارائه است. هیلبرت ۱۲ سال بعد از گودل زندگی کرد ولی به نظر نمی رسد جواب رسمی به کارهای گودل نوشته باشد. بدون شک کارهای گودل بر روی کل ریاضیات (و نه تنها منطق) بسیار حائز اهمیت است هر چند که باعث حل شدن عجیب و شاید ناراحت کنندهٔ یکی از سؤالات هیلبرت شد.مسئلهٔ دهم هیلبرت نمی پرسد که آیا الگوریتمی برای حل معادلهٔ دیوفانتی وجود دارد یا نه. بلکه ساختار چنین الگوریتمی را مورد نظر دارد. «ارائهٔ پروسه ای که با انجام متنهای عمل بتوان معین کرد که آیا یک معادله در اعداد گویا قابل حل است یا خیر.» حل این مسئله که نشان می داد چنین الگوریتمی وجود ندارد برای وی بسیار عجیب بود.با توجه به نظر وی که هر مسئلهٔ ریاضی حتماً راه حلی دارد او این اجازه را داد که راه حل مسئله اثبات این باشد که حل مسئله اصلی امکان پذیر نیست. مشهور است که او بیان کرده مهم این است که آیا راه حلی وجود دارد یا نه؛ و او عقیده داشت که ما همواره می توانیم این نکته را بفهمیم. یعنی در ریاضیات گزارهٔ دارای ابهام (گزاره ای که هرگز ارزش درستی آن معلوم نشود) وجود ندارد. واضح نیست که آیا او پاسخ سؤال دهم را دارای ابهام تلقی کرده است یا نه: آنچه که ما اثبات نمی کنیم که مسئله پاسخ طبیعی ندارد بلکه تنها می توانیم بفهمیم که آیا مسئله در حالت کلی دارای جواب است یا خیر.از سوی دیگر وضعیت مسئلهٔ اول و دوم پیچیده تر است. هیچ اتفاق نظر واضح ریاضی وجود ندارد که آیا نتایج گودل (در مورد سؤال دوم) یا گودل و کوهن (در مورد سؤال اول) جواب منفی قطعی به مسئله می دهند یا نه. از آنجایی که این راه حل ها به شکل خاصی از سؤال جواب می دهند و ممکن این شکل بندی تنها شکل بندی موجود برای این دو مسئله نباشد.
هیلبرت در واقع ۲۴ مسئله در لیستش آورده بود ولی از انتشار سؤال بیست وچهارم جلوگیری کرده بود. مسئله بیست وچهارم (ملاکی برای سادگی در نظریهٔ اثبات) توسط رودیگر تیله تاریخ دان آلمانی از دست نوشته های هیلبرت به دست آمد.
wiki: مسائل هیلبرت