گئورگ کانتور

گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور (۳ مارس ۱۸۴۵؛ – ۶ ژانویه ۱۹۱۸) ریاضی دانی آلمانی بود. آوازهٔ کانتور بیشتر به خاطر ابداع نظریه مجموعه ها می باشد چرا که امروزه به نظریه ای بنیادین در ریاضیات تبدیل شده است. کانتور ایدهٔ تناظر یک به یک میان اعضای دو مجموعه را مطرح کرد، مفهوم بی نهایت و مجموعه های خوش ترتیب را تعریف نمود، و همچنین ثابت کرد که مجموعه اعداد حقیقی «بزرگتر» از مجموعه اعداد طبیعی است. در حقیقت، روش کانتور در اثبات این قضیه نشان می داد که مجموعه ای نامتناهی از بی نهایت ها وجود دارد. او اعداد اصلی و ترتیبی و حساب آن ها را تعریف کرد. دستاورد کانتور از لحاظ فلسفی نیز جایگاه ویژه ای دارد و وی نیز به نیکی از این حقیقت آگاه بود.در ابتدا تصور می شد که نظریه کانتور دربارهٔ اعداد ترامتناهی (ترانسفینی) تا حدود زیادی خلاف شهود—یا حتی تکان دهنده—است، تا آنجا که با مقاومت شدید هم عصران او همچون لئوپولد کرونکر و آنری پوانکاره، و بعدها هرمان ویل و لوئیتزن اخبرتوس یان براور قرار گرفت، و لودویگ ویتگنشتاین نیز در مورد نظریهٔ او ایرادهای فلسفی بیان نمود. برخی از علمای مسیحی (به ویژه پیروان جدید فلسفه مدرسی) نیز می پنداشتند که دستاورد کانتور چالشی است بر یکتایی بی نهایت مطلق در طبیعت خدا؛ یعنی برابر دانستن نظریه اعداد ترامتناهی با همه خدایی، در حالی که کانتور چنین مدعایی را به شدت رد می کرد. این انتقادها در برخی مواقع حتی شدت بیشتری می یافتند: پوانکاره از ایده های کانتور به عنوان بیماری گریوز یاد می کرد و می گفت که این بیماری نظام ریاضیات را عفونی می کند. کرونکر نیز در نزد عموم به مخالفت صریح با کانتور برمی خاست و به وی حملات شخصی می کرد؛ از جمله این که از او به عنوان یک "شارلاتان علمی،" یک "ازدین برگشته" و یک "فاسدکنندهٔ جوانان" یاد می کرد. کرونکر حتی از اثبات کانتور مبنی بر شمارا بودن اعداد جبری و ناشمارا بودن اعداد متعالی ایراد می گرفت، در حالی که امروزه این نتایج بخشی از برنامه استاندارد دروس ریاضی هستند. حتی دهه ها پس از مرگ کانتور، ویتگنشتاین با دریغ نوشت که ریاضیات "مورد تاخت وتاز اصطلاحات آسیب رسان نظریه مجموعه ها قرار گرفته است." وی چنین اصطلاحاتی را "مزخرف مطلق،" "خنده آور،" و "نادرست" تلقی می کرد. گفته می شود که علت مجموعه افسردگی های کانتور از ۱۸۸۴ تا پایان زندگی او، دشمنی بسیاری از معاصرانش با وی بوده است، اگرچه برخی نیز از این افسردگی ها به عنوان ظهور اختلال دوقطبی در وی یاد می کنند.این انتقادهای شدید، بعدها به تحسین و تمجید تبدیل شدند. در سال ۱۹۰۴، انجمن سلطنتی جایزهٔ مدال سیلوستر را به وی داد که به عنوان بزرگترین جایزه و افتخاری تلقی می شود که برای دستاورد ریاضی به شخصی اهدا می گردد. گفته می شود کانتور بر این باور بوده که نظریه اعداد ترامتناهی از سوی خدا به وی الهام شده بوده است. مشهور است که داوید هیلبرت از دستاورد کانتور در برابر منتقدان، این چنین دفاع می کرد: "هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور آفریده، بیرون کند."
نظریهٔ مجموعه ها
بی نهایت
کانتور در سال ۱۸۴۵ و در بخش غربی بازرگان نشین شهر سن پترزبورگ در روسیه به دنیا آمد و تا یازده سالگی در آن شهر زندگی کرد. گئورگ که بزرگترین فرزند میان شش فرزند خانواده بود، ویولن را بسیار عالی می نواخت و گفته می شود که مهارت هنری و موسیقایی فوق العاده خود را از پدر و مادرش به ارث برده بود. فرانتس بوهم (۱۷۸۸–۱۸۴۶)، پدر بزرگ وی و برادر ویولونیست معروف ژوزف بوهم، یکی از موسیقی دانان نام آور و تکنواز یکی از ارکسترهای سلطنتی در امپراتوری روسیه بود. پدر کانتور یکی از اعضای بورس اوراق بهادار در سن پترزبورگ بود. اما زمانی که بیمار شد، در سال ۱۸۵۶ به همراه خانواده به آلمان مهاجرت کرد. در ابتدا ساکن شهر ویسبادن شدند و سپس در پی یافتن شرایط اقلیمی ملایم تری از زمستان های سن پترزبورگ، به فرانکفورت نقل مکان کردند. کانتور در سال ۱۸۶۰ با نمره بسیار عالی از دبیرستانی در دارمشتات فارغ التحصیل شد و آموزگارانش به مهارت های استثنایی وی در ریاضیات، به ویژه در مثلثات، اشاره داشتند. کانتور در سال ۱۸۶۲ وارد دانشگاه زوریخ شد. پس از مرگ پدر و با دریافت ارثیه ای قابل توجه، در دانشگاه برلین به مطالعات خود ادامه داد و سر کلاس های لئوپولد کرونکر، کارل وایرشتراوس، و ارنست کومر حاضر شد. او تابستان سال ۱۸۶۶ را در دانشگاه گوتینگن گذراند که چه در آن زمان و چه بعدها، مرکز پژوهش های ریاضی بود.
در سال ۱۸۶۷ کانتور رساله دکتری خود را، که دربارهٔ نظریه اعداد بود، در دانشگاه برلین به پایان رساند. پس از یک دوره کوتاه تدریس در مدرسه ای دخترانه در برلین، شغلی در دانشگاه هاله پذیرفت و تمام دوره کاری خود را در همین دانشگاه گذراند. با آغاز فعالیت در دانشگاه هاله، او رساله دیگری دربارهٔ نظریه اعداد نوشت و در سال ۱۸۶۹ ارائه داد که توانست جایزه فرهیختگی را برای او به ارمغان بیاورد (این جایزه که در برخی از کشورهای اروپایی و آسیایی مرسوم است، به کسی داده می شود که توانسته باشد پس از دریافت مدرک دکتری، پژوهش بیشتری انجام دهد و رساله برجسته و ممتازی راجع به آن بنویسد).
در سال ۱۸۷۴، کانتور با والی گوتمان ازدواج کرد. آن ها صاحب شش فرزند شدند و آخرین آن ها (ردولف) در سال ۱۸۸۶ به دنیا آمد. با آنکه درآمد آکادمیک کانتور چندان زیاد نبود، اما به یمن ارثیه ای که به وی رسیده بود، او می توانست از پس مخارج خانواده اش بربیاید. ماه عسل آن ها در کوه های هارتس گذشت و در طی آن، کانتور زمان زیادی را صرف مباحثات ریاضی با ریچارد ددکیند کرد. وی دو سال قبل از آن نیز، زمانی که در سوییس تعطیلات می گذراند، با ددکیند ملاقات کرده بود.

گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور (۳ مارس ۱۸۴۵؛ – ۶ ژانویه ۱۹۱۸) ریاضی دانی آلمانی بود.
• «در ریاضیات هنر طرح پرسش ها ارزشمندتر از حل مسائل است.»• «ذات ریاضیات، آزاد بودن آن است.»• «هیچ کس نخواهد توانست مارا از بهشتی که کانتور برایمان ساخته است بیرون کند.»