در ریاضیات، یک نمایش گروه راهی است برای توصیف عناصر یک گروه مجرد به صورت ماتریسها. بنابراین واژه نمایش در اینجا به معنی توصیف یا توضیح عناصر گروه به صورت نگاشتهای خطی است. از آنجا که بررسی این نگاشتها در جبر خطی بسیار کامل و آسانتر از بررسی مجرد عناصر یک گروه است، نمایش گروه می تواند در فهم و توصیف ویژگیهای یک گروه کمک کند و بسیاری از مسائل نظریه گروهها را به مسائلی در جبر خطی تقلیل دهد.
فرض کنید K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } ، G = Z / 3 Z = { 0 ¯ , 1 ¯ , 2 ¯ } {\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}} و V = C 2 {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}} و تعریف کنید:
فرض کنید G {\displaystyle G} یک گروه و V {\displaystyle V} یک فضای برداری روی میدان K {\displaystyle K} باشد. منظور از یک نمایش گروه G {\displaystyle G} روی V {\displaystyle V} یک همریختی ρ {\displaystyle \rho } از G {\displaystyle G} به G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} است. به زبان دیگر یک نگاشت ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} به گونه ای که : ρ ( g 1 . g 2 ) = ρ ( g 1 ) ρ ( g 2 ) {\displaystyle \rho (g_{1}.g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})} برای هر g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} .در اینجا به V {\displaystyle V} فضای نمایش و بُعد آنرا به اصطلاح بُعد نمایش گروه G {\displaystyle G} مینامیم.اگر V {\displaystyle V} بعد متناهی (برای نمونه برابر با n {\displaystyle n} ) داشته باشد، بطور معمول یم پایه برای آن اختیار میکنیم و گروه G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} را با G L n ( K ) {\displaystyle GL_{n}(K)} ، گروه ماتریسهای وارونپذیر n × n {\displaystyle n\times n} روی K {\displaystyle K} ، یکی فرض میکنیم. آنگاه می توان نمایش ρ {\displaystyle \rho } را به صورت همریختیِ ρ : G → G L n ( K ) {\displaystyle \rho :G\to GL_{n}(K)} نمایش داد.
یک نمایش ρ {\displaystyle \rho } را وفادار مینامیم، اگر ρ {\displaystyle \rho } به عنوان یک نگاشت یک به یک باشد. از آنجا که ρ {\displaystyle \rho } یک همریختی میان دو گروه است، می توان هسته این همریختی را تعریف کرد و بنابراین قرار میدهیم: K e r ρ := { g ∈ G | ρ ( g ) = i d } {\displaystyle Ker\rho :=\{g\in G|\rho (g)=id\}} .پس ρ {\displaystyle \rho } وفادار است اگر و تنها اگر K e r ρ = { e G } {\displaystyle Ker\rho =\{e_{G}\}} .
ρ ( 0 ) = ( 1 0 0 1 ) , ρ ( 1 ) = ( 1 0 0 u ) , ρ ( 2 ) = ( 1 0 0 u 2 ) . {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (2)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{pmatrix}}.} که در اینجا u = e 2 π i 3 {\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}} .
فرض کنید K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } ، G = Z / 3 Z = { 0 ¯ , 1 ¯ , 2 ¯ } {\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}} و V = C 2 {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}} و تعریف کنید:
فرض کنید G {\displaystyle G} یک گروه و V {\displaystyle V} یک فضای برداری روی میدان K {\displaystyle K} باشد. منظور از یک نمایش گروه G {\displaystyle G} روی V {\displaystyle V} یک همریختی ρ {\displaystyle \rho } از G {\displaystyle G} به G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} است. به زبان دیگر یک نگاشت ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} به گونه ای که : ρ ( g 1 . g 2 ) = ρ ( g 1 ) ρ ( g 2 ) {\displaystyle \rho (g_{1}.g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})} برای هر g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} .در اینجا به V {\displaystyle V} فضای نمایش و بُعد آنرا به اصطلاح بُعد نمایش گروه G {\displaystyle G} مینامیم.اگر V {\displaystyle V} بعد متناهی (برای نمونه برابر با n {\displaystyle n} ) داشته باشد، بطور معمول یم پایه برای آن اختیار میکنیم و گروه G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} را با G L n ( K ) {\displaystyle GL_{n}(K)} ، گروه ماتریسهای وارونپذیر n × n {\displaystyle n\times n} روی K {\displaystyle K} ، یکی فرض میکنیم. آنگاه می توان نمایش ρ {\displaystyle \rho } را به صورت همریختیِ ρ : G → G L n ( K ) {\displaystyle \rho :G\to GL_{n}(K)} نمایش داد.
یک نمایش ρ {\displaystyle \rho } را وفادار مینامیم، اگر ρ {\displaystyle \rho } به عنوان یک نگاشت یک به یک باشد. از آنجا که ρ {\displaystyle \rho } یک همریختی میان دو گروه است، می توان هسته این همریختی را تعریف کرد و بنابراین قرار میدهیم: K e r ρ := { g ∈ G | ρ ( g ) = i d } {\displaystyle Ker\rho :=\{g\in G|\rho (g)=id\}} .پس ρ {\displaystyle \rho } وفادار است اگر و تنها اگر K e r ρ = { e G } {\displaystyle Ker\rho =\{e_{G}\}} .
ρ ( 0 ) = ( 1 0 0 1 ) , ρ ( 1 ) = ( 1 0 0 u ) , ρ ( 2 ) = ( 1 0 0 u 2 ) . {\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (2)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{pmatrix}}.} که در اینجا u = e 2 π i 3 {\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}} .
wiki: نمایش گروه