نظریه گروه ها

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه گروه ها اختصاص دارد نظریه گروه ها نامیده می شود. گروه از جمله مهم ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلور شناسی، فیزیک، کوانتم و… از اهمیت بالایی برخوردار است.
فرض کنید a ∈ G و & sigma;(a) = n. اگر k ∈ Z و ak = e آنگاه n|k.
درصورتی که G یک گروه دوری باشد.
اگر G نامتناهی باشد، آنگاه با (+,Z) یکریخت است.
اگر مرتبه G برابر با n باشد، آنگاه با (+,Zn) یکریخت است.
فکر تشکیل نظریه گروه ها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کرده اند و به این ترتیب در زمان صرفه جویی می شود.
نظریه گروه ها به وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال ۱۷۷۰ با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ بر روی معادلات چندجمله ای پایه گذاری شد.
نظریه اعداد به وسیله کارل فردریش گاوس در سال ۱۸۰۱ مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی. اف. کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه ها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه ها می دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس. لی لای و سی. اف کلاین هستند.