مشبکه

مشبکه (ترتیب). در ریاضیات، مشبکه یکی از مفاهیم اساسی جبری است که در جبر مجرد استفاده می شود؛ که شامل یک مجموعه مرتب جزئی است که هر دو عضو آن، یک کوچک ترین کران بالا (سوپریمم) و یک بزرگ ترین کران پایین (اینفیمم) یکتا دارد. به طور مثال مرتب جزئی مجموعه اعداد طبیعی و شمردن (بخش پذیری)، که سوپریمم یکتای هر دو عضو، کوچکترین مضرب مشترک و اینفیمم یکتای آن ها بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک آن ها می باشد.
همچنین می توان مشبکه ها را به عنوان ساختارهای جبری که مشخص کنندهٔ تعدادی هویت برهان اند، شناخت. چون هر دو تعریف معادلند، نظریه مشبکه به نظریه ترتیب و جبر جهانی متصل می شود.شبه مشبکه ها شامل مشبکه هایی می شوند که به نوبه خود شامل جبر بولی و جبر هیتینگ می شود. همه این ساختارهای مشبکه مانند به اندازه توصیف های جبری نظریه ترتیب را تصدیق می کنند.
اگر (L , ≤) یک مجموعه مرتب جزئی باشد و S یک زیر مجموعه یا مساوی دلخواه L باشد، آنگاه u∈L یک کران بالا برای S است اگر به ازای هر∈S s داشته باشیم: s≤u. یک مجموعه ممکن است چند کران بالا داشته باشد یا اصلاً کران بالا نداشته باشد. یک کران بالاu از S را هنگامی کوچکترین کران بالا یا سوپریمم می نامیم که به ازای هر کران بالا x داشته باشیم: u≤xیک مجموعه حتماً کوچکترین کران بالا ندارد ولی نمی تواند بیش از یکی داشته باشد.از طرفی، l∈L یک کران پایین برای S است اگر به ازای هر ∈S s داشته باشیم: l≤s. یک کران پایین l از S را هنگامی بزرگترین کران پایین یا اینفیمم می نامیم که به ازای هر کران پایین x داشته باشیم x≤l.یک مجموعه ممکن است چند کران پایین داشته باشد، یا اصلاً کران پایین نداشته باشد ولی می تواند حداکثر یک بزرگترین کران بالا داشته باشد.یک مجموعه مرتب جزئی (L ,≤) را یک شبه مشبکه از بالا کراندار یا ازپایین کراندار می نامند اگرهر زیر مجموعه دو عضوی {a,b} از L یک بزرگترین کران پایین و یک کوچکترین کران بالا داشته باشد، که با a∧b و a∨b نشان داده می شود.و(L ,≤) یک مشبکه نامیده می شود اگر هم یک شبه مشبکه از بالاکراندار و هم یک شبه مشبکه از پایین کراندار باشد. این تعاریف عملگرهای ∨و∧ را می سازند. هر دو عملگر نسبت به ترتیب یکنواختند :≤a_2 a_1 و ≤b_2 b_1 نتیجه می دهد∨b_2 ≤a_2 a_1∨b_1 و ∧b_2 ≤a_2 a_1∧b_1.با استدلال استقرا ثابت می شود که هر زیر مجموعه غیر تهی محدود مشبکه دارای یک سوپریمم و اینفیمم است. با فرض ها اضافی، نتیجه های بیشتری ممکن است به دست آید.
یک مشبکه کراندار مشبکه ای است که یک بزرگترین عضو ۱ و کوچکترین عضو ۰ داشته باشد به صورت:۰≤x≤1 for every x in lبزرگترین عضو و کوچک ترین عضو هم ماکسیموم و مینیموم یا عنصر اول و عنصر آخر نامیده می شوند؛ و با ⊤ و ⊥ نشان می دهند.هر مشبکه می تواند با اضافه کردن بزرگترین و کوچکترین عضو مجازی به یک مشبکه کراندار تبدیل شود، و هر مشبکه غیر تهی محدود کراندار است. با گرفتن سوپریمم تمام اعضا.یک مجموعه مرتب جزئی یک مشبکه کراندار است اگر و تنها اگرمجموعه محدود از اعضا (همچنین تهی) یک سوپریمم و یک اینفیمم داشته باشد. برای هر عضو x از بدیهی است که :∀a∈∅∶x≤a و ∀a∈∅∶a≤x. پس در نتیجه هر عضو پوزت هم کران بالا و هم کران پایین مجموعه تهی است؛ که نشان می دهد که سوپریمم مجموعه تهی، کوچکترین عضو آن و اینفیمم آن بزرگترین عضو است: ∨∅=۰ و ∧∅=۱وبا وابستگی و جا به جایی سوپریمم و اینفیمم ثابت است: سوپریمم اجتماع مجموعه های بی نهایت برابر است با سوپریمم سوپریمم مجموعه ها و همچنین اینفیمم اجتماع مجموعه های بی نهایت برابر است با اینفیمم اینفیمم مجموعه ها.به طور مثال زیرمجموعه های محدود A و B از پوزت L:∨(A∪B)=(∨A)∧(∨B)