تابع پیوسته

در ریاضیات، تابع پیوسته در نقطه a {\displaystyle a} تابعی است که در نقطه a {\displaystyle a} تعریف شده، و همچنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f ( a ) {\displaystyle f(a)} باشد. در تعریفی شهودی خواهیم داشت تابعی پیوسته است که هر تغییر کوچک در ورودی اش، تغییری کوچک در خروجی اش ایجاد کند، و بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.
حد تابع در آن نقطه موجود نباشد.
تابع در آن نقطه موجود نباشد.
حد موجود با مقدار تابع موجود، برابر نباشد.
هر تابع به سه دلیل ممکن است پیوسته نباشد:
تابع حقیقی f {\displaystyle f}   پیوسته است، اگر به ازای هر دنباله x n {\displaystyle x_{n}}   که lim n → ∞ x n = L {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=L}  ، نتیجه بگیریم lim n → ∞ f ( x n ) = f ( L ) {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(L)}  . ادوارد هاینه ریاضی دان آلمانی این تعریف را ارائه داده است.