تابع تحلیلی

در ریاضیات یک تابع تحلیلی تابعی است که به طور محلی به وسیله یک سری توانی همگرا مشخص می شود. می توان به توایع تحلیلی مانند یک پل بین چندجمله ای ها و توابع در حالت کلی فکر کرد. اینجا توابع تحلیلی حقیقی و توابع تحلیلی مختلط وجود دارند، که شباهت ها و تفاوت هایی دارند. یک تابع تحلیلی است اگر برابر با سری تیلورش در یک همسایگی باشد.
هر چندجمله ای (حقیقی یا مختلط) یک تایع تحلیلی است. به این دلیل که اگر یک چندجمله ای از درجه n باشد، هر جمله ازدرجه بزرگ تر از n در بسط سری تیلورش صفر است، وبنا براین، این سری به طور جزئی همگرا خواهد بود.
تابع نمایی تحلیلی است. هر سری تیلور برای این تابع نه فقط برای x به اندازه کافی نزدیک به x۰ (همان طور که در تعریف آمده) بلکه برای همه مقدار x (حقیقی یا مختلط) همگرا می شود.
توابع مثلثاتی، لگاریتم و توابع توانی روی هر بازهٔ باز در دامنهٔشان تحلیلی اند.
تابع قدر مطلق تحلیلی نیست زیرا مشتق پذیر نیست. توابع تعریف شدهٔ تکه ای(تابعهای معلوم به وسیله فرمولهای مختلف در مناطق مختلف) تحلیلی نیستند.
تابع f روی مجموعه باز D در خط حقیقی، تحلیلی حقیقی است اگر برای هر x۰ در D بتوان نوشت:
= a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + ⋯ {\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots }
در این فرمول ضرایب a۰، a۱، ... اعداد حقیقی هستند و سری برای x در یک همسایگی از x۰ همگرا است.به صورت دیگر، یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در هر نقطه x۰ در دامنه اش