تابع مشخصه

فرض کنید X مجموعه ای ناتهی و A زیرمجموعه ای از X باشد. در این صورت تابع مشخصه A در X، یعنی χ A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle {\mathcal {\chi }}_{A}:X\to \{0,1\}} (بخوانید خی A) را برای هر x∈X به صورت زیر تعریف می کنیم:
البته انتخاب مجموعه {0,1} هر چند معمول تر است ولی الزامی نیست و می توان هر مجموعه دو عضوی دیگر را نیز انتخاب کرد. این تابع به هر عضو مجموعه A عدد یک و به هر عضو X-A یعنی عناصری که متعلق به X هستند ولی به A تعلق ندارند مقدار صفر رانسبت می دهد. وجه تسمیه این تابع این است که عناصری زیرمجموعه A از X را از سایر عناصری که در A قرار ندارند جدا می کند.
نمونه ای از یک تابع مشخصه معروف تابع دیریکله است که همان تابع مشخصه Q(اعداد گویا) در R(اعداد حقیقی) است که آن را با D نشان می دهیم و به این صورت تعریف می کنیم:
به سادگی می توان نشان داد این تابع در هیچ یک از نقاط دامنه خود پیوسته نیست.