تابع زتای ریمان

در ریاضیات، تابع زتای ریمان (توسط برنارد ریمان نامگذاری شد) تابعی است بسیار مهم و پرکاربرد در نظریه اعداد . زیرا با توزیع اعداد اول رابطه دارد. همچنین کاربردهای دیگری نیز در جاهای دیگر علم دارد مانند: فیزیک، نظریه احتمال و کاربرد استاتیک.
تابع زتاریمان (ζ(s برای هر عدد مختلط s با ( جزء حقیقی بزرگتر از یک) با سری نامتناهی زیر تعریف می شود:
در ناحیهٔ {s ∈ C: Re(s)> 1}، این سری همگراست و یک تابع تحلیلی در این ناحیه تعریف می کند. برنارد ریمان دریافت که چگونه می توان این تابع را به تمام نقاط مختلط با جزء حقیقی غیر یک بسط داد که حاصل آن یک تابع مرومورفیک(ζ(s است. موقعیت صفرهای این تابع تحلیلی موضوع حدس ریمان است. بنا به این حدس، برای تمام صفرهای نابدیهی این تابع تحلیلی (آنهایی که یک عدد صحیح زوج منفی نیستند)، جزء حقیقی برابر ½ است.
ارتباط این تابع با اعداد اول ابتدا توسط لئونارد اویلر پیدا شد او پی برد :