جنگ فرسایشی (نظریه بازی ها). برای کابرد عمومی این کلمه، صفحه جنگ فرسایشی را ببینید.
اگر دو بازیکن پیشنهادهای متفاوتی داده باشند: پس بازی یک بالاترین پیشنهاد دهنده و یک پایین ترین پیشنهاد دهنده دارد، استراتژی عقلانی برای پایین ترین پیشنهاد دهنده، که می داند قرار است زیان کند، این است که قیمت صفر را پیشنهاد دهد؛ و بالاترین پیشنهاد دهنده، یک قیمت بالاتر و مایل به صفر را ترجیح می دهد تا نتیجه نهایی خود را بیشینه کند. در این حالت پایین ترین پیشنهاد دهنده انگیزه این را دارد تا قیمتی اندکی بیش تر از رقیب خود را پیشنهاد دهد تا منبع را برنده شود. پس هر دو بازیکن ممکن است استراتژی خود را برای افزایش سود یا کاهش ضرر تغییر دهند.
اگر دو بازیکن قیمتی یکسان پیشنهاد داده باشند: اگر قیمت پیشنهاد شده از V 2 {\displaystyle {\frac {V}{2}}} بیش تر باشد، سود دو بازیکن منفی می شود؛ و برای هر پیشنهاد زیر V 2 {\displaystyle {\frac {V}{2}}} ، هر بازیکن انگیزه این را دارد تا قیمت بالاتری پیشنهاد دهد؛ بنابراین هر کدام از بازیکنان ممکن است استراتژی خود را تغییر دهند. در نتیجه این حالت نیز نمی تواند تعادل نش باشد.
در نظریه بازیها، جنگ فرسایشی یک بازی با زمان پویا است؛ بدین معنا که بازیکنان یک زمان برای توقف بازی انتخاب می کنند (البته توقف بازی می تواند با رسیدن به یک امتیاز خاص، یک هزینه خاص یا موارد مشابه صورت گیرد). اساس این گونه بازی ها بر بده-بستانی از سود استراتژیک بدست آمده از ضرر دیگر بازیکنان و هزینه افزایش یافته در گذر زمان است؛ و بازی تا زمان مشخص شده برای توقف تکرار می شود. به عبارت دیگر، با ادامه بازی طرفین به بدست آوردن سود نزدیک می شوند ولی هر مرحله از بازی هزینه ای را نیز به طرفین تحمیل می کند. در مقابل این بازی ها، بازی های پیش-خرید (pre-emiton) وجود دارند، این بازی ها مشابه جنگ های فرسایشی زمانی پویا دارند، با این تفاوت که اساس بازی بر بده-بستانی از هزینه بدست آمده از ضرر دیگر بازیکنان و سود افزایش یافته در گذر زمان است. این مدل در اصل توسط جان ماینارد اسمیت (به زبان انگلیسی: John Maynad Smith) فرمول بندی شده است. یک استراتژی پایدار تکاملی (ESS) ترکیبی توسط تیم بیشاپ (به زبان انگلیسی: Tim Bishop) و کانینگز (به زبان انگلیسی: Chris Cannings) تعیین شده است. یک مثال از بازی های جنگ فرسایشی، “all-pay auction” است. در این بازی جایزه به بازیکنی تعلق می گیرد که بیش ترین پیشنهاد را داده و همه بازیکنان هزینه ای به اندازه کم ترین پیشنهاد متقبل می شوند.
جنگ فرسایشی میان مصر و اسرائیل از مارس ۱۹۶۹ تا قرارداد آتش-بس در اوت ۱۹۷۰، معمولاً به عنوان درگیری اصلی شناخته شده نبوده است. نتیجه غیرقطعی آن باعث شد تا ناظران از این حقیقت که این یک جنگ محدود در همه جوانب است غافل شوند. با توجه به مقاصدی که هر دو طرف داشتند، هر کدام موفق می شدند، باعث تحول عظیمی در منطقه می شد. اهداف مصریان، رسیدن به توانایی عبور از کانال سوئز و تصرف قدرتمندانه صحرای سینا بود. هدف اسرائیلی ها نه تنها جلوگیری از این موضوع و برقراری دوباره آتش-بس در منطقه بود، بلکه به طور جدی تلاش می کردند تا رژیم مصر را با فشار نظامی تحت سلطه خود درآورند. اگرچه دو طرف بخش اصلی نیروهای نظامی شان (به طور مستقیم یا به عنوان قسمتی از موقعیت های ثابت) را بر نزاع بر کانال سوئز متمرکز کرده بودند، ولی درگیری به منطقه خاصی محدود نشده بود و در عوض این طور به نظر می رسید که اثرات درگیری ها هم زمان به دیگر نیروهای خط مقدم اسرائیل نیز منتقل شده است؛ و به طور خلاصه می توان گفت که جنگ به طور قابل ملاحظه ای مهم بوده است. در واقع استراتژی افکار طرفین، این جنگ شش روزه را به جنگی فرسایشی تبدیل کرد.یک جنگ فرسایشی ممکن است به عنوان استراتژی پذیرفته شود (که در آن ترجیحاً یگان رزمی فشاری را تحمل می کند تا منجر به شکست مستقیم طرف دیگر شود، نظیر جنگ جهانی اول). وقتی یکی از طرفین ضعیف تر از دیگری است یا زمانی که امکان پیش بینی نتیجه حاصل از یک تصمیم صریح وجود ندارد؛ در آغاز این گونه جنگ ها طرف ضعیف درگیری باید برای جلوگیری از وسعت میدان طرف مقابل، بررسی هایی را انجام دهد و با فشاری کامل به قوای پیشتاز نظامی اش، وارد جنگ شود. اگر بتواند این کار را انجام دهد، در این مرحله به بعد هدف دیگر یک برخورد قاطع و محکم برای شکستن نیروهای حریف نیست و فقط باید استراتژی را به این تغییر دهد که با خسته کردن و فرسایش، نیروهای دشمن را وادار کند به جنگ بدون امتیاز ادامه دهند. واضح است که ادامه این جنگ، طرفین را متحمل هزینه هایی خواهد کرد که بعضاً از ارزش پیروزی بیش تر است و ادامه جنگ عملاً سودی برای طرفین (یا یکی از طرف ها) نخواهد داشت.
برای اینکه ببینیم این بازی چگونه عمل می کند، به بررسی بازی «all-pay auction» می پردازیم. فرض کنید بازیکن ها به صورت هم زمان برای یک منبع به ارزش V {\displaystyle V} قیمتی پیشنهاد می دهند، و بازیکنی که بیش ترین قیمت را پیشنهاد دهد، منبع را برنده می شود؛ و همه بازیکنان به اندازه کم ترین قیمت پیشنهاد شده هزینه متحمل می شوند (در بعضی از نسخه های این بازی هزینه هر بازیکن به اندازه پیشنهادی است که خودش داده است). به بیان دیگر اگر قیمت پیشنهادی بازی کن iام را b i {\displaystyle b_{i}} در نظر بگیریم، نتیجه نهایی برای او در صورتی ک برنده نشود، − b i {\displaystyle -b_{i}} و در صورتی که منبع را برنده شود V − b i {\displaystyle V-b_{i}} می شود. در صورتی که چند (k) بازیکن بیش ترین قیمت ( b {\displaystyle b} ) را پیشنهاد داده باشند، منبع بین آن ها به طور مساوی تقسیم می شود؛ بنابراین نتیجه نهایی برای این بازیکنان V b {\displaystyle {\frac {V}{b}}} می شود. نهایتاً قیمت پیشنهادی در هر زمان، یک جنگ فرسایشی محسوب می شود. با این که قیمت پیشنهادی بالا می تواند احتمال بدست آوردن جایزه را بالا برد، اما هزینه بیش تری را نیز دربردارد (این جمله حاکی از بده-بستان سود و زیان در این بازی است).فرض اینکه بازیکنان می توانند هر قیمتی را پیشنهاد دهند در تحلیل بازی بسیار مهم است. قیمت پیشنهادی حتی می تواند از ارزش منبع که رقابت بر سر آن است نیز بیش تر شود. در ابتدا این انتخاب ممکن است غیرعقلانی به نظر آید ـ پرداخت قیمتی بالاتر از ارزش آن به نظر نابخردانه می آید ـ از آن جایی که هر بازیکن به اندازه کم ترین قیمت پرداخت می کند، بنابراین به نظر می آید هر بازیکن مایل به پیشنهاد بیش ترین قیمت ممکن باشد تا قیمتی کم تر مساوی ارزش منبع.اگر همه بازیکنان قیمتی بیش از V {\displaystyle V} پیشنهاد دهند، بازیکن پیشنهاد دهندهٔ بالاترین قیمت، به جای سود، ضرر می کند. به بیان دیگر بازیکنی که کم ترین قیمت( b {\displaystyle b} ) را پیشنهاد داده به اندازه b {\displaystyle b} هزینه می کند و بازیکنی که بیش ترین قیمت را پیشنهاد داده، هزینه V − b {\displaystyle V-b} را متحمل می شود (که در این حالت b > V {\displaystyle b>V} است) و این وضعیت پیروزی شکست آمیز نامیده می شود. اگر همه بازیکنان قیمتی مثل b > V n {\displaystyle b>{\frac {V}{n}}} را پیشنهاد دهند، همگی V n − b {\displaystyle {\frac {V}{n}}-b} از دست می دهند. Luce و Raiffaاین حالت اخیر را وضعیت ویران گر نامیده اند؛ که همه بازیکنان ضرر می کنند و هیچ برنده ای وجود ندارد.استنتاجی که می توان از این شبه ماتریس داشت این است که قیمتی پیشنهادی وجود ندارد تا در همه حالات سودمند باشد، بنابراین هیچ استراتژی غالبی وجود ندارد. همچنین در این بازی هیچ تعادل نشی وجود ندارد، که در ادامه آن را برای بازی دو نفره اثبات خواهیم کرد:
اگر دو بازیکن پیشنهادهای متفاوتی داده باشند: پس بازی یک بالاترین پیشنهاد دهنده و یک پایین ترین پیشنهاد دهنده دارد، استراتژی عقلانی برای پایین ترین پیشنهاد دهنده، که می داند قرار است زیان کند، این است که قیمت صفر را پیشنهاد دهد؛ و بالاترین پیشنهاد دهنده، یک قیمت بالاتر و مایل به صفر را ترجیح می دهد تا نتیجه نهایی خود را بیشینه کند. در این حالت پایین ترین پیشنهاد دهنده انگیزه این را دارد تا قیمتی اندکی بیش تر از رقیب خود را پیشنهاد دهد تا منبع را برنده شود. پس هر دو بازیکن ممکن است استراتژی خود را برای افزایش سود یا کاهش ضرر تغییر دهند.
اگر دو بازیکن قیمتی یکسان پیشنهاد داده باشند: اگر قیمت پیشنهاد شده از V 2 {\displaystyle {\frac {V}{2}}} بیش تر باشد، سود دو بازیکن منفی می شود؛ و برای هر پیشنهاد زیر V 2 {\displaystyle {\frac {V}{2}}} ، هر بازیکن انگیزه این را دارد تا قیمت بالاتری پیشنهاد دهد؛ بنابراین هر کدام از بازیکنان ممکن است استراتژی خود را تغییر دهند. در نتیجه این حالت نیز نمی تواند تعادل نش باشد.
در نظریه بازیها، جنگ فرسایشی یک بازی با زمان پویا است؛ بدین معنا که بازیکنان یک زمان برای توقف بازی انتخاب می کنند (البته توقف بازی می تواند با رسیدن به یک امتیاز خاص، یک هزینه خاص یا موارد مشابه صورت گیرد). اساس این گونه بازی ها بر بده-بستانی از سود استراتژیک بدست آمده از ضرر دیگر بازیکنان و هزینه افزایش یافته در گذر زمان است؛ و بازی تا زمان مشخص شده برای توقف تکرار می شود. به عبارت دیگر، با ادامه بازی طرفین به بدست آوردن سود نزدیک می شوند ولی هر مرحله از بازی هزینه ای را نیز به طرفین تحمیل می کند. در مقابل این بازی ها، بازی های پیش-خرید (pre-emiton) وجود دارند، این بازی ها مشابه جنگ های فرسایشی زمانی پویا دارند، با این تفاوت که اساس بازی بر بده-بستانی از هزینه بدست آمده از ضرر دیگر بازیکنان و سود افزایش یافته در گذر زمان است. این مدل در اصل توسط جان ماینارد اسمیت (به زبان انگلیسی: John Maynad Smith) فرمول بندی شده است. یک استراتژی پایدار تکاملی (ESS) ترکیبی توسط تیم بیشاپ (به زبان انگلیسی: Tim Bishop) و کانینگز (به زبان انگلیسی: Chris Cannings) تعیین شده است. یک مثال از بازی های جنگ فرسایشی، “all-pay auction” است. در این بازی جایزه به بازیکنی تعلق می گیرد که بیش ترین پیشنهاد را داده و همه بازیکنان هزینه ای به اندازه کم ترین پیشنهاد متقبل می شوند.
جنگ فرسایشی میان مصر و اسرائیل از مارس ۱۹۶۹ تا قرارداد آتش-بس در اوت ۱۹۷۰، معمولاً به عنوان درگیری اصلی شناخته شده نبوده است. نتیجه غیرقطعی آن باعث شد تا ناظران از این حقیقت که این یک جنگ محدود در همه جوانب است غافل شوند. با توجه به مقاصدی که هر دو طرف داشتند، هر کدام موفق می شدند، باعث تحول عظیمی در منطقه می شد. اهداف مصریان، رسیدن به توانایی عبور از کانال سوئز و تصرف قدرتمندانه صحرای سینا بود. هدف اسرائیلی ها نه تنها جلوگیری از این موضوع و برقراری دوباره آتش-بس در منطقه بود، بلکه به طور جدی تلاش می کردند تا رژیم مصر را با فشار نظامی تحت سلطه خود درآورند. اگرچه دو طرف بخش اصلی نیروهای نظامی شان (به طور مستقیم یا به عنوان قسمتی از موقعیت های ثابت) را بر نزاع بر کانال سوئز متمرکز کرده بودند، ولی درگیری به منطقه خاصی محدود نشده بود و در عوض این طور به نظر می رسید که اثرات درگیری ها هم زمان به دیگر نیروهای خط مقدم اسرائیل نیز منتقل شده است؛ و به طور خلاصه می توان گفت که جنگ به طور قابل ملاحظه ای مهم بوده است. در واقع استراتژی افکار طرفین، این جنگ شش روزه را به جنگی فرسایشی تبدیل کرد.یک جنگ فرسایشی ممکن است به عنوان استراتژی پذیرفته شود (که در آن ترجیحاً یگان رزمی فشاری را تحمل می کند تا منجر به شکست مستقیم طرف دیگر شود، نظیر جنگ جهانی اول). وقتی یکی از طرفین ضعیف تر از دیگری است یا زمانی که امکان پیش بینی نتیجه حاصل از یک تصمیم صریح وجود ندارد؛ در آغاز این گونه جنگ ها طرف ضعیف درگیری باید برای جلوگیری از وسعت میدان طرف مقابل، بررسی هایی را انجام دهد و با فشاری کامل به قوای پیشتاز نظامی اش، وارد جنگ شود. اگر بتواند این کار را انجام دهد، در این مرحله به بعد هدف دیگر یک برخورد قاطع و محکم برای شکستن نیروهای حریف نیست و فقط باید استراتژی را به این تغییر دهد که با خسته کردن و فرسایش، نیروهای دشمن را وادار کند به جنگ بدون امتیاز ادامه دهند. واضح است که ادامه این جنگ، طرفین را متحمل هزینه هایی خواهد کرد که بعضاً از ارزش پیروزی بیش تر است و ادامه جنگ عملاً سودی برای طرفین (یا یکی از طرف ها) نخواهد داشت.
برای اینکه ببینیم این بازی چگونه عمل می کند، به بررسی بازی «all-pay auction» می پردازیم. فرض کنید بازیکن ها به صورت هم زمان برای یک منبع به ارزش V {\displaystyle V} قیمتی پیشنهاد می دهند، و بازیکنی که بیش ترین قیمت را پیشنهاد دهد، منبع را برنده می شود؛ و همه بازیکنان به اندازه کم ترین قیمت پیشنهاد شده هزینه متحمل می شوند (در بعضی از نسخه های این بازی هزینه هر بازیکن به اندازه پیشنهادی است که خودش داده است). به بیان دیگر اگر قیمت پیشنهادی بازی کن iام را b i {\displaystyle b_{i}} در نظر بگیریم، نتیجه نهایی برای او در صورتی ک برنده نشود، − b i {\displaystyle -b_{i}} و در صورتی که منبع را برنده شود V − b i {\displaystyle V-b_{i}} می شود. در صورتی که چند (k) بازیکن بیش ترین قیمت ( b {\displaystyle b} ) را پیشنهاد داده باشند، منبع بین آن ها به طور مساوی تقسیم می شود؛ بنابراین نتیجه نهایی برای این بازیکنان V b {\displaystyle {\frac {V}{b}}} می شود. نهایتاً قیمت پیشنهادی در هر زمان، یک جنگ فرسایشی محسوب می شود. با این که قیمت پیشنهادی بالا می تواند احتمال بدست آوردن جایزه را بالا برد، اما هزینه بیش تری را نیز دربردارد (این جمله حاکی از بده-بستان سود و زیان در این بازی است).فرض اینکه بازیکنان می توانند هر قیمتی را پیشنهاد دهند در تحلیل بازی بسیار مهم است. قیمت پیشنهادی حتی می تواند از ارزش منبع که رقابت بر سر آن است نیز بیش تر شود. در ابتدا این انتخاب ممکن است غیرعقلانی به نظر آید ـ پرداخت قیمتی بالاتر از ارزش آن به نظر نابخردانه می آید ـ از آن جایی که هر بازیکن به اندازه کم ترین قیمت پرداخت می کند، بنابراین به نظر می آید هر بازیکن مایل به پیشنهاد بیش ترین قیمت ممکن باشد تا قیمتی کم تر مساوی ارزش منبع.اگر همه بازیکنان قیمتی بیش از V {\displaystyle V} پیشنهاد دهند، بازیکن پیشنهاد دهندهٔ بالاترین قیمت، به جای سود، ضرر می کند. به بیان دیگر بازیکنی که کم ترین قیمت( b {\displaystyle b} ) را پیشنهاد داده به اندازه b {\displaystyle b} هزینه می کند و بازیکنی که بیش ترین قیمت را پیشنهاد داده، هزینه V − b {\displaystyle V-b} را متحمل می شود (که در این حالت b > V {\displaystyle b>V} است) و این وضعیت پیروزی شکست آمیز نامیده می شود. اگر همه بازیکنان قیمتی مثل b > V n {\displaystyle b>{\frac {V}{n}}} را پیشنهاد دهند، همگی V n − b {\displaystyle {\frac {V}{n}}-b} از دست می دهند. Luce و Raiffaاین حالت اخیر را وضعیت ویران گر نامیده اند؛ که همه بازیکنان ضرر می کنند و هیچ برنده ای وجود ندارد.استنتاجی که می توان از این شبه ماتریس داشت این است که قیمتی پیشنهادی وجود ندارد تا در همه حالات سودمند باشد، بنابراین هیچ استراتژی غالبی وجود ندارد. همچنین در این بازی هیچ تعادل نشی وجود ندارد، که در ادامه آن را برای بازی دو نفره اثبات خواهیم کرد: