توپولوژی بدیهی

در توپولوژی، یک فضای توپولوژیک با توپولوژی بدیهی جایی است که تنها مجموعه های باز، مجموعه های تهی و تمام فضا هستند. چنین فضایی برخی مواقع فضای به هم پیوسته گفته می شود و توپولوژی آن بعضی اوقات یک توپولوژی به هم پیوسته خوانده می شود. به طور شهودی این نتیجه منطقی را می توان گرفت که تمام نقاط فضا با هم در یک جا جمع شده و نمی توانند با ابزارهای توپولوژیک تمییز داده شوند.توپولوژی بدیهی، توپولوژی با حداقل تعداد مجموعه های باز ممکن است، زیرا تعریف یک توپولوژی نیاز دارد تا این دو مجموعه باز باشند. با وجود این سادگی، یک فضای X با بیش از یک عضو و توپولوژی بدیهی، فاقد یک ویژگی مطلوب است: یک فضای T۰ نیست.
تنها مجموعه های بسته، مجموعه تهی و X هستند.
تنها پایه ممکن X} ، X} است.
اگر X بیش از یک نقطه داشته باشد، سپس چون T۰ نیست، در هیچ یک از اصل های بالاتر T نیز صدق نمی کند. به ویژه این که یک فضای هاسدورف نیست.
با توجه به هاسدورف نبودن، X نه یک توپولوژی ترتیب است و نه متریک پذیر.
X به هر حال منظم، کاملاً منظم، نرمال و کاملاً نرمال است. اگر چه همگی از راهی نسبتاً بی معنی، چون تنها مجموعه های بسته تهی و X می باشند.
X فشرده و بنابراین شبه فشرده، لیندلوف و فشرده محلی می باشد.
هر تابعی که دامنه اش یک فضای توپولوژیک و هم دامنه X است، پیوسته می باشد.
X همبند با مسیر و در نتیجه همبند است.
X اول-شمارا، دوم-شمارا و تفکیک پذیر است.
همه زیرفضاهای X دارای توپولوژی بدیهی هستند.
همه فضاهای خارج قسمت X دارای توپولوژی بدیهی هستند.
حاصل ضرب های دلخواه فضاهای توپولوژیک بدیهی، چه با توپولوژی حاصل ضرب و چه توپولوژی جعبه، دارای توپولوژی بدیهی می باشند.
تمام دنباله ها در X به هر نقطه X همگرا می باشند. به ویژه هر دنباله یک زیر دنباله همگرا (تمام دنباله) دارد، در نتیجه X فشرده ترتیبی است.
درون هر مجموعه به جز X تهی است.
بست هر زیرمجموعه ناتهی X خود X است. به بیان دیگر: هر زیرمجموعه ناتهی X فشرده است، ویژگی ای که فضاهای توپولوژیک بدیهی را توصیف میکند.
اگر S هر زیرمجموعه X با بیش از یک عضو باشد، همه اعضا X نقاط حدی S هستند. اگر S یک مجموعه تک عضوی باشد، هر نقطه X/S همچنان یک نقطهٔ حدی S می باشد.
X یک مجموعه بئر است.
دو فضای توپولوژیک دارای توپولوژی بدیهی همریخت هستند، اگر دارای کاردینال یکسان باشند.
ویژگی های دیگر یک فضای به هم پیوسته X -که خیلی از آن ها غیرمعمول هستند- عبارتند از :
به تعبیری متضاد توپولوژی بدیهی، توپولوژی گسسته است، که در آن همه زیرمجموعه ها باز هستند.
توپولوژی بدیهی به یک فضای شبه متریک، که در آن فاصله بین هر دو نقطه صفر است، و یک فضای یکنواخت، که در آن تمام ضرب دکارتی X×X تنها محیط پیرامون است، تعلق دارد.فرض کنیم Top رده فضاهای توپولوژیک با نگاشت پیوسته و Set رده مجموعه ها با توابع باشند. اگر F : Top → Set عملگری باشد که به هر فضای توپولوژیک، مجموعه متضمن آن را نسبت دهد (اصطلاحاً عملگر فراموش کار)، و G : Set → Top عملگری باشد که توپولوژی بدیهی را روی یک مجموعه دلخواه قرار دهد، G راست الحاقی به F است. (عملگر H : Set → Top که توپولوژی گسسته را روی یک مجموعه دلخواه قرار میدهد، چپ الحاقی به F است.)