در محاسبات عددی، اگر یک مجموعه از نقاط را بخواهید با یک خط درون یابی کنید و شیب خط ( m {\displaystyle m} ) و عرض از مبدأ ( h {\displaystyle h} ) را بدست آورید، کافی است که خطای تعریف شده ( E {\displaystyle E} ) در زیر را کمینه (مینیمم) کنید:
کمترین مربعات
ماتریس وندرماند (Vandermonde matrix)
که x ¯ = Σ i x i N {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\Sigma _{i}{x_{i}}}{N}}} میانگین x i {\displaystyle x_{i}} ها و N {\displaystyle N} تعداد نقاط می باشد. m {\displaystyle m} و h {\displaystyle h} بدست آمده، بهینه خط عبوری از این نقاط را می دهد.
از این روش می توانید برای درون یابی چندجمله ای های مرتبه بالاتر نیز استفاده کنید، کافی است که تعریف خطا ( E {\displaystyle E} ) را مطابق با چندجمله ای که می خواهید عوض کرده بقیه محاسبات را همان طور ادامه داده و ضرایب را بدست آورید.
فرمول کلی یک برآورد خطی با معادله Y = β X + u {\displaystyle Y=\beta X+u} به صورت β = ( X X ′ ) − 1 Y X ′ {\displaystyle \beta =(XX^{\prime })^{-1}YX^{\prime }} است. حال می خواهیم این رابطه و خصوصیات آن را به طور هندسی مورد بررسی قرار داده و ببینیم چه نتایجی برای ما در بردارند. این بررسی نه تنها از دیدگاه تئوری دارای ارزش می باشد بلکه بسیاری از روابطی که از حل معادله های پیچیده جبری بدست می آیند را بااستفاده از اثبات های هندسی ساده کرده و فهم ارتباط این روابط را برای ما آسان می کند. فرض کنید مجموعه متغیرهای توضیح دهنده ما به صورت { X 1 , . . . , X k } {\displaystyle \{X_{1},...,X_{k}\}} باشند می دانیم از هم مستقل هستند و بنابراین می توانند پایه هایی برای زیر فضای S ( X ) {\displaystyle S(X)} از E k {\displaystyle E^{k}} به وجود آورند در حقیقت اگر β {\displaystyle \beta } دلخواهی را در نظر بگیریم X β {\displaystyle X\beta } یک عضو دلخواه از زیر فضای ما خواهد بود و داریم:
کمترین مربعات
ماتریس وندرماند (Vandermonde matrix)
که x ¯ = Σ i x i N {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\Sigma _{i}{x_{i}}}{N}}} میانگین x i {\displaystyle x_{i}} ها و N {\displaystyle N} تعداد نقاط می باشد. m {\displaystyle m} و h {\displaystyle h} بدست آمده، بهینه خط عبوری از این نقاط را می دهد.
از این روش می توانید برای درون یابی چندجمله ای های مرتبه بالاتر نیز استفاده کنید، کافی است که تعریف خطا ( E {\displaystyle E} ) را مطابق با چندجمله ای که می خواهید عوض کرده بقیه محاسبات را همان طور ادامه داده و ضرایب را بدست آورید.
فرمول کلی یک برآورد خطی با معادله Y = β X + u {\displaystyle Y=\beta X+u} به صورت β = ( X X ′ ) − 1 Y X ′ {\displaystyle \beta =(XX^{\prime })^{-1}YX^{\prime }} است. حال می خواهیم این رابطه و خصوصیات آن را به طور هندسی مورد بررسی قرار داده و ببینیم چه نتایجی برای ما در بردارند. این بررسی نه تنها از دیدگاه تئوری دارای ارزش می باشد بلکه بسیاری از روابطی که از حل معادله های پیچیده جبری بدست می آیند را بااستفاده از اثبات های هندسی ساده کرده و فهم ارتباط این روابط را برای ما آسان می کند. فرض کنید مجموعه متغیرهای توضیح دهنده ما به صورت { X 1 , . . . , X k } {\displaystyle \{X_{1},...,X_{k}\}} باشند می دانیم از هم مستقل هستند و بنابراین می توانند پایه هایی برای زیر فضای S ( X ) {\displaystyle S(X)} از E k {\displaystyle E^{k}} به وجود آورند در حقیقت اگر β {\displaystyle \beta } دلخواهی را در نظر بگیریم X β {\displaystyle X\beta } یک عضو دلخواه از زیر فضای ما خواهد بود و داریم:
wiki: حداقل مربعات خطی