نظریه مجموعه ها

نظریه مجموعه ها (به انگلیسی: Set theory) شاخه ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه ها می پردازد. مجموعه ها، گردایه ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می رود. زبان نظریه مجموعه ها را می توان در تعریف تقریباً همه اشیاء ریاضی به کار برد.مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف تناقض های نظریه طبیعی مجموعه ها، دستگاه های اصل موضوعی بی شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف ترین آن ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند.نظریه مجموعه ها عموماً به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه های زرملو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می رود. ورای نقش بنیادینش، نظریه مجموعه ها در جایگاه خود یکی از شاخه های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می شود. پژوهش های معاصر در نظریه مجموعه ها موضوع های متنوعی را شامل می شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.
اجتماع مجموعه های A و B، مجموعه A ∪ B، مجموعه تمام اشیایی است که یا عضو A هستند، یا عضو B یا عضو هردو. اجتماع ‏{۱، ۲، ۳}‎ و ‏{۲، ۳، ۴}‎ مجموعه ‏{۱، ۲، ۳، ۴}‎ است.
اشتراک مجموعه های A و B، مجموعه A ∩ B مجموعه تمام اشیایی است که هم عضو A و هم عضو B هستند. اشتراک ‏{۱، ۲، ۳}‎ و ‏{۲، ۳، ۴}‎ مجموعه ‏{۲، ۳}‎ است.
تفاضل مجموعه های U و A، مجموعه U \ A، مجموعه تمام اعضایی است که عضو U هستند ولی عضو A نیستند. تفاضل ‏{۱، ۲، ۳}‎ \ ‏{۲، ۳، ۴}‎ مجموعه ‏{۱}‎ است؛ و برعکس تفاضل ‏{۲، ۳، ۴}‎ \ ‏{۱، ۲، ۳}‎ مجموعه ‏{۴}‎ است. وقتی که A زیر مجموعه U است، تفاضل U \ A متمم A در U نیز خوانده می شود. در این مورد، اگر انتخاب U از متن معلوم باشد، نماد Ac بعضی اوقات به جای U \ A استفاده می شود، مخصوصاً وقتی U مانند مطالعه نمودار ون مجموعه جهانی باشد.
تفاضل متقارن مجموعه های A و B، مجموعه A △ B یا A ⊖ B، مجموعه تمام اشیایی است که عضو دقیقاً یکی از مجموعه های A و B باشد. (اعضایی که در یکی از مجموعه ها هستند، نه در هر دو). برای مثال، برای مجموعه های ‏{۱، ۲، ۳}‎ و ‏{۲، ۳، ۴}‎، تفاضل متقارن مجموعه ‏{۱، ۴}‎ است. تفاضل اجتماع و اشتراک (A ∪ B) \ (A ∩ B) یا (A \ B) ∪ (B \ A) نیز همان تفاضل متقارن است.
ضرب دکارتی A و B، مجموعه A × B مجموعه ای است که اعضایش تمام زوج مرتب های ممکن (a,b) است که a عضوی از A و b عضوی از B است. ضرب دکارتی {۱, ۲} و {red, white} می شود {(red,۱), (red, ۲), (white, 2), (white, ۱)}.
مجموعه توانی یک مجموعه A مجموعه تمام زیر مجموعه های A است. برای مثال مجموعه توانی ‏{۱، ۲}‎ مجموعه ‏{{}، {۱}، {۲}، {۱، ۲}}‎ است.
مباحث ریاضی به طور معمول از ارتباط متقابل میان پژوهش گران زیادی به دست می آیند. نظریه مجموعه ها، هرچند، با یک تک مقاله «یک خاصیت مشخصه ای تمام اعداد جبری حقیقی» در سال ۱۸۷۴ توسط گئورگ کانتور پایه ریزی شد.از قرن ۵ قبل از میلاد، از زمان ریاضیدان یونانی زنون الئایی در غرب و ریاضیدانان هندی در شرق، ریاضیدانان با مفهوم بی نهایت در کشمکش بوده اند. بخصوص یکی از کارهای قابل توجه کار برنارد بولتزانو در نیمه اول قرن ۱۹ است. درک مدرن از بی نهایت با کار کانتور روی نظریه اعداد در ۱۸۷۱–۱۸۶۷ شروع شد. یک ملاقات بین کانتور و ریچارد ددکیند در سال ۱۸۷۲ تفکر کانتور را تحت تأثیر قرار داد و در مقاله ۱۸۷۴ کانتور به اوج خود رسید.کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی کارل وایرشتراس و ددکیند از کانتور حمایت می کردند، لئوپولد کرونکر، که امروزه به عنوان بنیان گذار ریاضیات برساخت گرایی از او یاد می شود، حمایت نمی کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند تناظرات یک به یک بین مجموعه ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد اعداد حقیقی بیشتر از اعداد صحیح است، و «بی نهایت بودن بی نهایت ها» («بهشت کانتور») مبتنی بر عملکرد مجموعه توانی متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه ها منجر به ارائه مقاله «نظریه مجموعه ها» (به آلمانی: Mengenlehre) در سال ۱۸۹۸ از جانب آرتور شونفلایس به دائرةالمعارف کلین شد.موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که آنتنومیها یا پارادوکس ها خوانده می شوند. برتراند راسل و ارنست زرملو به طور جدا ساده ترین و معروف ترین پارادوکس را که امروزه پارادوکس راسل خوانده می شود پیدا کردند: «مجموعه تمام مجموعه هایی که عضو خودشان نیستند» را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سؤال قرار داد: «کاردینال مجموعه تمام مجموعه ها چقدر است؟»، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره ای در «اصول ریاضیات»اش استفاده کرد.پیشرفت نظریه مجموعه ها طوری بود که مناظره بر روی پارادوکس ها باعث رها کردن آن نشد. کار زرملو در ۱۹۰۸ و آبراهام فرانکل در ۱۹۲۲ مجموعه اصول موضوعه ZFC را نتیجه داد، که به مورد استفاده ترین اصول موضوعه برای نطریه مجموعه ها بدل شد. کار آنالیست هایی مثل هنری لبگ کاربرد بزرگ ریاضی نظریه مجموعه ها را که از آن زمان به بعد در تار و پود ریاضیات مدرن بافته شده، نشان داد. نظریه مجموعه ها به طور معمول به عنوان یک سیستم پایه استفاده می شود، هرچند در برخی از نواحی نظریه رده ها به عنوان سیستم پایه ترجیح داده می شود.
نظریه مجموعه ها با یک رابطه دودویی اصلی بین یک شی o و یک مجموعه A آغاز می شود. اگر o یک عضو (یا «عنصر») A باشد، بنویسید o ∈ A. چون مجموعه ها خود اشیاء هستند، رابطه عضویت نیز می تواند مرتبط باشد.یک رابطه دودویی برگرفته بین مجموعه ها رابطه زیرمجموعه ای است، که شمول مجموعه ای نیز نامیده می شود. اگر همه اعضای A اعضای B نیز باشند، A زیر مجموعه B است، که A ⊆ B نمادگذاری می شود. برای مثال، ‏{۱، ۲}‎ یک زیر مجموعه ‏{۱، ۲، ۳}‎ است. اما ‏{۱، ۴}‎ نیست. با این تعریف، واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش است؛ در صورتی که نخواهیم این مورد را به حساب بیاوریم، عبارت «زیرمجموعه سره» تعریف شده است. A زیر مجموعه سره B است اگر و فقط اگر A زیر مجموعه B باشد ولی B زیر مجموعه A نباشد.همانند حسابان که عملیات دودویی را روی اعداد پیاده سازی می کند، نظریه مجموعه ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه ها اعمال می کند.
برخی از مجموعه هایی که در کانون اهمیت قرار دارند، مجموعه تهی، مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی هستند.