دترمینان

دترمینان، در جبر خطی به تابعی گفته می شود که هر ماتریس مربعی را (به عبارتی هر ماتریس n × n {\displaystyle n\times n} را) به یک عدد نسبت می دهد. دترمینان بیشتر برای تعیین معکوس ماتریسها استفاده می شود، به طوری که اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه آن ماتریس معکوس پذیر است. از این رو از طریق دترمینان می توان مقادیر ویژه یک ماتریس یا به عبارت بهتر یک نگاشت خطی را تعیین کرد. مثال دیگر، این توابع، دترمینان ژاکوبی است که در روش تغییر متغیر برای انتگرالهای چند بعدی، مورد استفاده قرار می گیرد.
اگر B ماتریس حاصل از جا به جایی دو سطر یا دو ستون ماتریس A باشد آنگاه دترمینان B برابر قرینهٔ دترمینان A.
اگر ماتریس A دارای دو سطر یا دو ستون مساوی باشد دترمینان آن صفر است.
اگر ماتریس A دارای سطر یا ستونی با درایه های صفر باشد، دترمینان آن صفر است.
اگر ماتریس A یک ماتریس بالا مثلثی یا پایین مثلثی باشد، دترمینان آن برابرست با ضرب درایه های قطر اصلی.
اگر تمام درایه های یک سطر یا یک ستون ماتریس A بر عددی مانند K بخشپذیر باشد آنگاه K از دترمینان خارج شده و در عدد دترمینان ضرب می شود.
اگر A {\displaystyle A}   یک ماتریس مربعی n-بعدی با اعضای A i , j {\displaystyle A_{i,j}}  ( i , j ∈ { 1 , ⋯ , n } {\displaystyle i,j\in \{1,\cdots ,n\}}  ) باشد، آنگاه دترمینان این ماتریس به صورت زیر نوشته می شود (نامیده شده به لایبنیتز):
det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n A i , σ ( i ) {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}}
در اینجا S n {\displaystyle S_{n}}  ، مجموعهً تمام جایگشت های (permutations) ممکن بین اعداد { 1 , ⋯ , n } {\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}   است و sgn ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}   تابعی است که مقدار آن برابر ۱برای جابه جایی های ( σ {\displaystyle \sigma }  ) زوج و برابر − 1 {\displaystyle -1}   برای جابه جایی های فرد است. در اینجا منظور از زوج و فرد، تعداد تعویض های دوتایی می باشد، که جابه جاییِ σ {\displaystyle \sigma }   از آنها ساخته شده است.

دِتِرْمینان (determinant)
دِتِرْمینان
در ریاضیات، آرایه ای مربعی از عناصر یا کمیت ها، بین دو خط عمودی. تعداد سطرها یا ستون های دترمینان را مرتبۀ آن می نامند. اگر ماتریس از مرتبۀ دوم، یعنی به صورت(فرمول ۱)باشد، مقدار دترمینان آن برابر است با a۱b۲-a۲b۱. از دترمینان برای حل دستگاه معادلات به روش ماتریسیاستفاده می کنند.فرمول ۱: