استقرای ترامتناهی

استقرای ترامتناهی (به انگلیسی: transfinite induction) یک تعمیم استقرای ریاضی به مجموعه های خوش ترتیب، به عنوان مثال برای مجموعه ای از اعداد ترتیبی (عدد ترتیبی یا اوردینال) یا اعداد کاردینالی (عدد اصلی یا کاردینال) است.(P(α را به عنوان یک ویژگی تعریف شده برای همهٔ اعداد ترتیبی α در نظر بگیرید. فرض کنید که هر گاه (P(β برای همهٔ β <α ها درست باشد، پس (P(α نیز درست است (از جمله درست بودن (P(0 نشان می دهد که (P(α برای همهٔ α ها درست است) پس استقرای ترامتناهی به ما می گوید که P برای همه اعداد ترتیبی درست است.در نتیجه داریم، اگر (P(α برای همه β <α ها درست باشد، پس (P(α برای همه α ها درست است. یا عملاً بیشتر: به منظور اثبات یک ویژگی P برای همه اعداد ترتیبی α، می توان فرض کرد که در حال حاضر P برای همه β <α ها درست باشد.معمولاً اثبات به سه حالت تقسیم می شود:حالت صفر: ثابت کنیم که (P(۰ درست است.حالت تالی (به انگلیسی: successor): ثابت کنیم که برای هر عدد ترتیبی تالی (P(α + ۱) ،(α + ۱ (و در صورت لزوم، (P(β برای همه β <α ها) نتیجه می شود.حالت حدی (به انگلیسی: limit): ثابت کنیم که برای هر اوردینال حدی P(λ)، λ از (P(β برای همه β <λ نتیجه می شود.توجه کنید که هر سه مورد مشابه اند به جز در نوع اوردینالی که در نظر گرفته شده است. آن ها به طور رسمی نیاز ندارند که به طور جداگانه در نظر گرفته شوند، اما در عمل اثبات معمولاً خیلی متفاوت تر از آنند که به ارائه جداگانه نیاز نداشته باشند. صفر، گاهی اوقات به عنوان یک اوردینال حدی در نظر گرفته می شود و ممکن است گاهی اوقات در اثبات ها مانند اوردینال های حدی با آن برخورد شود.
روابط بازگشتی ترامتناهی (به انگلیسی: transfinite recursion) شبیه به استقرای ترامتناهی است. با این حال، به جای اثبات این که چیزی برای همه اعداد ترتیبی صحیح است، ما دنباله ای از اشیاء، یکی برای هر اوردینال، می سازیم.به عنوان مثال، یک پایه از فضای برداری (احتمالاً بی نهایت بُعدی) را می توان با انتخاب یک بردار v0 و با انتخاب یک بردار برای هر اوردینال α که در فضای بردارهای تولید شده توسط {vβ | β <α} نیست، ساخت. این فرایند زمانی که هیچ برداری نتواند انتخاب شود متوقف می شود.به بیان رسمی تر، می توانیم قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی را به طور زیر شرح دهیم:قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی (نسخه ۱). برای یک تابع کلاسی داده شده G: V → V (که در آن V کلاس همه مجموعه هاست)، یک دنباله ترامتناهی منحصر به فرد F: Ord → V (که در آن Ord کلاس همه اعداد ترتیبیست) وجود دارد به طوری که(F(α) = G(F⌠α برای همه اعداد ترتیبی α؛ که ⌠ نشان دهنده تحدید دامنه F به اعداد ترتیبی کوچکتر از α است.مانند حالت استقرا، ممکن است ما انواع مختلف اوردینال ها را به طور جداگانه در نظر بگیریم:نسخه دیگری از روابط بازگشتی ترامتناهی به شرح زیر است:قضیه روابط بازگشتی ترامتناهی (نسخه ۲). برای مجموعهٔ داده شدهٔ g۱ و توابع کلاسی G۲ و G۳، یک تابع منحصر به فرد F: Ord → V وجود دارد به طوری کهF(۰) = g۱،((F(α + ۱) = G۲ (F(α، برای هر α ∈ Ord،(F(λ) = G3 (F ⌠ λ، برای تمام اعداد حدی λ ≠۰.توجه داشته باشید که لازم است دامنه های G۲ ،G۳ به اندازه کافی گسترده باشند تا خواص فوق معنی دار شوند. منحصر به فرد بودن این دنباله که موجب صحت این خواص می شود از طریق استقرای ترامتناهی به اثبات می رسد.به طور کلی، می توان هر چیزی را توسط روابط بازگشتی ترامتناهی در هر رابطه خوش بنیان R تعریف کرد. (R نیاز نیست که حتیما یک مجموعه باشد. می تواند یک کلاس سره باشد، به شرط آن که یک رابطه «مجموعه مانند» باشد که برای هر x، مجموعهٔ تمام yهایی که x R y باید یک مجموعه باشد)
اثبات ها یا ساختارهایی که از استقرا و روابط بازگشتی استفاده می کنند، اغلب از اصل موضوع انتخاب (به انگلیسی: axiom of choice) برای تولید یک رابطه خوش ترتیب که می تواند با استقرای ترامتناهی بدست آید، استفاده می کنند. با این حال، اگر رابطه گفته شده در صورت سؤال در حال حاضر خوش ترتیب باشد، می توان اغلب از استقرای ترامتناهی بدون توسل به اصل موضوعی انتخاب استفاده کرد. به عنوان مثال، نتایج بسیاری در مورد مجموعه بورل با استقرای ترامتناهی روی رتبه ترتیبی مجموعه ثابت شده است. این رتبه ها در همان ابتدا خوش ترتیب هستند، پس اصل موضوعی انتخاب برای خوش ترتیب کردن آن ها مورد نیاز نیست.ساختار زیر از مجموعه ویتالی یکی از راه هایی که اصل موضوعی انتخاب را می توان در اثبات از طریق استقرای ترامتناهی بکار برد، نشان می دهد:اول، اعداد حقیقی را خوش ترتیب کنید (این جایی است که در آن اصل موضوعی انتخاب از طریق قضیه خوش ترتیبی وارد می شود)، دنباله < rα | α ˂ β> را، که در آن β اوردینال است با کاردینالیتی پیوستار در نظر بگیرید. R۰ را برابر V۰ قرار دهید. سپس اجازه دهید که V۱ برابر rα۱ باشد، که در آن α۱ حداقل به طوری است که rα۱ –v۰ یک عدد گویا نباشد. به همین شیوه ادامه دهید. در هر مرحله از حداقل مقدار حقیقی دنباله R استفاده کنید که تفاوت منطقی با هیچ یک از عناصر تا کنون در دنباله V ساخته شده ندارد. تا زمانی که همه اعداد حقیقی دنباله R تمام شوند ادامه دهید. دنباله نهایی V مجموعه ویتالی بشمار می آید.استدلال بالا از اصل موضوع انتخاب به نحوی اساسی در همان ابتدا، به منظور خوش ترتیب کردن اعداد حقیقی استفاده کرد. پس از این مرحله، اصل موضوع انتخاب دوباره استفاده نمی شود.سایر کاربردهای اصل موضوع انتخاب به نسبت ماهرانه تر می باشند. به عنوان مثال، یک ساختار ساخته شده توسط روابط بازگشتی ترامتناهی اغلب یک ارزش منحصر به فرد برای Aα + ۱ مشخص نمی کند، اما شرایطی که Aα + ۱ باید برآورده سازد را مشخص خواهد کرد و استدلال می کند که حداقل یک مجموعه با این شرایط وجود دارد. اگر ممکن نباشد که یک مثال خاص از چنین مجموعه ای در هر مرحله تعریف کنیم، پس ممکن است استناد (به نوعی از) اصل موضوع انتخاب جهت انتخاب یک مورد از این مجموعه ها در هر مرحله ضروری باشد. برای استقراها و روابط بازگشتی با طول قابل شمارش، اصل ضعیف تر موضوعی انتخاب کافی است. زیرا آنجا مدل های نظریه مجموعه های زرملو فرانکل که مورد علاقه نظریه پردازان است و اصل موضوع انتخاب وابسته را برآورده می سازد نه اصل موضوع انتخاب کامل را، وجود دارد. اطلاع از اینکه یک اثبات خاص تنها نیاز به انتخاب وابسته دارد می تواند مفید باشد.