حساب . [ ح ِ ] (ع مص ، اِ) شمار. (مهذب الاسماء). شماره . شمردن . (تاج المصادر بیهقی ). بشمردن . شمر. شماره کردن . (دهار) (ترجمان عادل ). با کسی شمار کردن . تتوی گوید: بکسر و ضم حاء مهمله و تخفیف سین در لغت شمار و شمردن بنا بگفته ٔمنتخب ، و در اصطلاح اطلاق میشود بر علمی از علوم مدونه ، و علم حساب بر دو نوع است : نظری و عملی ، و عملی نیز بر دو گونه است : هوائی و غیرهوائی که معروف به تخت و تراب است ... و محاسب ، متصدی امر حساب را گویند. و محاسبات به فتح سین نزد علما فن حساب آنچه جز مساحت و جبر مقابله که از ابواب علم حساب و آن را مفتوحات نیز گویند، باشد. چنانکه در شرح خلاصةالحساب تألیف مولوی سیدعصمةاﷲ بیان شده . (کشاف اصطلاحات الفنون ).
تاریخ حساب : با تشکیل اولین اجتماعات انسانی علم حساب نیز بوجود آمد ولی مدارک تاریخی که مبین روش محاسبات انسانهای باستانی باشد فعلاً در دست نیست . اولین مدرکی که امروز موجود است الواح پخته گلی است که پاره ای از حسابهای ساکنین بین النهرین را درحدود سه هزار سال قبل از میلاد نشان می دهد، چه در حدود چهارهزار و اند سال پیش در این ناحیه تمدنی به وسیله ٔ آشوری ها و کلدانی ها پی ریزی شد که از این دو بالاخص کلدانیها به حساب توجه خاص داشتند طبق مدارک موجود کلدانیها در مورد لازم از مبنای شصت (
60) در عددنویسی استفادت می کردند و نیزاز این مبنا یک نوع سیستم متری اقتباس کرده بودند که بهترین روش اندازه گیری قدما بود. کلدانیها با وجودآنکه در جبر تسلطی نداشتند اعمالی از خود باقی گذارده اند که میرساند آنان تا حدی به حل معادلات درجه دوم رسیده بودند. مقارن با تمدن درخشان بابلی در دره ٔ نیل تمدنی به وجود آمد، و این که تمدن نیز بواسطه ٔ احتیاجات مادی خود به پیشرفت حساب و
هندسه کمک شایانی کرد. سیلابهای سالیانه ٔ نیل اولین اعمال مساحی را به وجود آورد و نیز معاملات تجارتی و گرفتن مالیاتها و خرجها، ایشان را وادار به تدوین اعمال ساده ٔ حسابداری کرد. حسابداران مصر عمل حساب را پیشرفت می دادند و کُهَنه جنبه های نظری آن رارسیدگی می کردند. امروزه مدارکی متعلق به
1800 سال قبل از میلاد مسیح است که در آن از حساب و تمرینات محاسباتی مصری صحبت می کند. مشهورترین این مدارک که به خط هیروگلیفی نوشته شده رساله پاپیروسی آهمس است که در سال
1867م . بوسیله ٔ مصرشناس معروف آیزن لهر خوانده شد و این رساله حاوی مسائل بسیار ساده ٔ حساب است .البته دو تمدن دیگر در خاور میدرخشید، نخست تمدن چینی که در دره ٔ رود یانگ تسه بود و متأسفانه در این تمدن علم حساب آن طوری که مثل دو تمدن قبلی بایستی پیشرفت کند پیشرفتی نکرده ، و مدارک موجود میرساند که در تمدن چین علم بوسیله خارجی ها به آنها تلقین میشد، و خود چینیها مستقیماً در پی کشف معضلات محاسباتی خودنبودند، تمدن دیگری در دره ٔ رود کنگ نیز بنام هندی بوجود آمد. این تمدن با عمق غیرقابل انکارش در زمینه های مغزی پیشرفت شایانی کرد و از آن جمله در علم حساب ، ولیکن علم حساب در این تمدن آنقدر که به بازی اعداد و طرح ریزی آنها سروکار داشت به محاسبات عملی توجه نمیکرد. البته غیر از این چند تمدن کهن در شرق ، فنیقیها و کشورهای همجوارشان نیز بوده اند، که بواسطه ٔ پیشرفت در دریانوردی باید گفت آنان نیز در حساب دست داشته اند ولی متأسفانه تاکنون مدرک باستانشناسی که این نظر را روشن کند به دست نیامده است . در یونان ، ازقرن دوازدهم قبل از میلاد ملت آریائی نژاد یونان در جزیره های اژه و سواحل آن سکنی گزیدند و با علاقمندی وافری به دریانوردی دست زدند و بر اثر آن کم کم تمدنی درخشان را پی ریختند که تا دنیا باقی است تاریخ و علم فلسفه به مردان قرن پنجم و چهارم قبل از میلاد آن کشور سر تعظیم فرود می آورد. در قرن هفتم قبل از میلاد، شهرهای ایونی یونان مدارس فلسفی را بوجود آوردند. و در آنجا به بحث در زمینه های مختلف علم و فلسفه آغاز کردند. علم ریاضی مثل سایر معارف بشری به این دانشگاهها راه یافت و چنانکه خواهیم دید در اثر مساعی آنان و سایر اقوام
یونانی ترقیات شایان کرد. تمدن یونانی برخلاف تمدنهای پیشین خودبود. آنان حساب را تنها در موارد نیاز و کارهای عملی مورد استفادت قرار می دادند. و حل مسائل آنقدر برای آنها مهم بود که با زندگی روزمره تماس داشت ، اما یونانیان بحث در موارد جزئی را تحقیر کرده و به بررسی های کلی و نظری می پرداختند. ارسطو می گفت علمی که بحث در جهان مجردات کند بر علوم دیگر که بند ماده هستند برتری دارد. بر اثر این گونه ارزیابی علمی
ریاضیات نظری (یعنی آنچه ما به ازائی در خارج نداشت ) در تمدن آنها پیشرفت شایانی کرد.
قدیمترین ریاضی دان یونان تالس ملطی است که قضیه ٔمعروف هندسه اش یکی از پایه های محاسبات نسبتهاست . فیثاغورس در اوائل قرن ششم قبل از میلاد در ساموس یکی از نواحی ایتالیا که از متصرفات یونان آن روزگار بود پا به عرصه ٔ وجود گذاشت وبر اثر مساعی او و شاگردانش علم حساب و ریاضی پیشرفت شایان کرد. قضیه ٔ معروف هندسه ٔ او پایه ٔ شناسائی عدد اصم شد. فیثاغورسیان نه تنها از نقطه نظر ریاضی به عدد توجه کردند بلکه در فلسفه نیز به عدد توجه داشته اند و طبق اصل معروف آنها، عدد اصل عالم است . زنون در دلائل معروف خود بر ردحرکت در جهان مسائل چندی را طرح می کند که طبق اصول دیالکتیک او بحث بی نهایت کوچک ها و بی نهایت بزرگها در علم ریاضی مطرح میشود. بقراط اهل شهر از کیوس سطوح منحنی و خواص محاسباتی آنها را طرح کرده که خود از مباحث دقیق این علم است .در بین قرن پنج و چهار قبل از میلاد معروفترین مردی که در دانشگاههای آتن تربیت شد و شاگردانی تربیت کردو به علم ریاضی علاقه داشت افلاطون است . او عقیده داشت که علوم منظم و منطقی در افراد تأثیر عمیق تربیتی دارد. او علم حساب را از منطق جدا نمود و بنظر او حساب فن کوچکی است که منطق بنحو دقیقتر از آن بحث می کند. از معاصران افلاطون ، ایدکس است که در ریاضی و نجوم کارهای ذیقیمتی کرد. تمدن یونانی که ابتداء از ایون شروع شده در جزائر دریای اژه و جنوب ایتالیا دانشمندانی بوجود آورد و پس ازمرگ اسکندر در
323 ق . م . مصر که در قلمرو حکومت او بود به دست یکی از سردارانش بنام بطلیموس افتاد و او در دره ٔ نیل حکومت بطالسه را تأسیس کرد. و بطالسه با پایتخت قرار دادن اسکندریه دانشگاه معروف اسکندریه را به وجود آوردند. این دانشگاه محل بحث مشهورترین دانشمندان و تربیت بزرگان چندی گردید و مشهورترین علمای ریاضی و حسابش اقلیدس ، اپلونیوس و اراتستن هستند که محاسبات و پایه گذاریهای ایشان در علوم ریاضی و مساحیهای جغرافیائی ایشان از زیباترین کارهای فکر بشری است .
قبل از ختم تاریخ ریاضی یونان قدیم باید از ارشمیدس (
277-
212 ق .م .)ریاضیدان معروف نام ببریم . این ریاضیدان که در سیراکوز بوجود آمد، در همه ٔ شعب ریاضی کار کرد و پایه ٔ چند رشته ٔ ریاضی را گذارد. او علم استاتیک را پایه گذاری کرد. اعداد یونانی را تکمیل کرد، و تحقیقاتش در هندسه بی نهایت کوچکها اساس محاسبات در این زمینه شد. پس از ارشمیدس ریاضیات درزمینه ٔ کشفیات پیشرفتی نکرد و فقط نجوم و مثلثات و حساب عملی پیشرفت تدریجی داشت . در روم : مردم پس از زوال یونانیان اساس تمدن رومی را ریختند. سیسرون اقرار کرد که برای یونانی هیچ چیز مشهورتر از ریاضی نیست . رومیها با اعدادی که داشتند نمیتوانستند به طریق کتبی کار کنند، فقط روی چرتکه های مخصوص خود به محاسبه میپرداختند. در زمان رومیها ریاضی روی به پس روی گذاشت ، و نوشته های بوئس رومی انعکاسی از این انحطاط است . این پس روی تا زمان فتح مصر به دست قیصر (
47 ق . م .) و آتش سوزی قسمت بزرگی از کتابخانه های مصری تشدید میشد. حوزه ٔ علمی اسکندریه در این دوره با روایات یونانی و مدارس فیثاغورسیان و افلاطونیان نو اداره میشد. بزرگان ریاضی این دوره ابرخس در نجوم و مثلثات و منلائوس و بطلیموس و نیکوماخس در هندسه و دیوفانت در جبر است . باری این انحطاط علم حساب تا پایان امپراطوری روم شرقی و فتح قسطنطنیه در
1453 م . ادامه داشت .
در هند: هندیها که تمدنشان بر پایه های استوار درون بینی عرفان و تصوف تکیه داشت ، پس از فتح اسکندر و آمیزش با یونان بجهان بیرون نیز متمایل شدند، و بر اثر استفادت از پیشرفتهای کلدانی و یونانی در زمینه های ریاضی و نجوم ترقیات شایان کردند. نوشته های سانسکریتی باقی مانده از ایشان دال بر این مدعی است . نکته ای که در پیشرفتهای ریاضی هندی به چشم میخورد اهمیتی است که ایشان به ادراک حضوری و شهودی میدادند در برابر ادراک استدلالی . و این روش از عرفان محکم و ژرف هندی سرچشمه می گرفت . باری سهم پرارزش هندیها در علم حساب تأسیس سیستم اعداد کنونی و تنظیم روش حساب و کمک در پیشرفت جبر و مثلثات بوده است ، و ازمؤلفان هندی چون آپاستامبا و آریاب هاتا و براهماگوپتا و بهاسکارا بسیار معروفند.
در تمدن اسلامی : پس از مرگ پیغمبر اسلام در
632 م . و تشکیل امپراطوری عرب و فتوحات آنان ، مسلمانان از اواخر عهد امویان با علوم کشورهای مفتوحه و همجوار آشنا شدند، و پس از ترجمه های متعدد از فلسفه های کهن ، پایه ٔ فرهنگ اسلامی را ریختند،لیکن دانشمندان اسلامی در کارهای ریاضی و حساب آن طوری که مدارس اسکندریه پیشرفت کرده بود، پیشرفت نکردند. یکی از مفاخر تمدن اسلامی آن است که اعداد هندی رااز هند به دیگر نقاط جهان رسانیدند و از این روی مسلمانان آن را ارقام هندی خوانند و اروپائیان آنها راارقام عربی نامند و نخستین کسی که آن را از هندیها گرفت ابوجعفر محمدبن موسی خوارزمی است . و فرنگیان کلمه ٔ «الگریسم » را از نام وی مشتق ساخته اند. اما در جبر؛ مسلمانان یک کتاب از ذیوفانتوس و دیگری از ابرخس را ترجمه کردند و مسائل بسیاری از ریاضیات هندی و ایرانی بر آنها افزودند، ومشهورترین کتب مسلمانان در این موضوع جبر و مقابله ٔخوارزمی یاد شده میباشد که در سال
820 م . تدوین گشته است . وی در زیج خود نیز میان آراء ریاضی هند و ایران و یونان
جمع کرده است . مسلمانان این کتاب خوارزمی را چندین بار شرح کرده اند. دیگر از ریاضی دانان اسلام ابوکامل شجاع بن اسلم و ابوالوفاء جوزجانی و ابوحنیفه دینوری (م
281 هَ . ق .) و ابوالعباس سرخسی (
286 هَ . ق .) و خواجه ٔ طوسی (
627 هَ . ق .) و غیاث الدین جمشید کاشانی میباشند. ابوالهیثم در آغاز سده ٔ پنجم هجری (
11 میلادی ) کتابی نگاشت و در آن اصول هندسه ٔ عددی را از اقلیدس و اپولونیوس گرفته و بخش بندی کرده و برای آنها از امور حسی و منطقی برهان ساخته است . و در جبر و حساب اسلوبی جدید به کار برده است . حسن بن موسی بن شاکر مسائلی در هندسه ابتکار نموده است ؛ مانند
تقسیم زاویه به سه قسمت متساوی و جز آن . مسلمانان حساب را به شعبه هائی چند تقسیم کرده اند مانند حساب تخت و تراب و جبر و مقابله و حساب خطئین و حساب الدور و الوصایا که به جبر و مقابله بازمیگردد. و حساب درم ودینار که استخراج مجهولات مافوق معادلات جبری با آن میسر شود و حساب فرائض برای تقسیم ترکه ٔ مردگان و حساب هوائی که نیاز به قلم ندارد. و حساب عقودالانامل و علم اعداد وفق و خواص اعداد متحابة و متباغضة و حساب نجوم و جز آنها. رجوع به هر یک از این کلمات در همین لغت نامه شود.
قرون وسطی : پس از حمله ٔ بربرها بر روم غربی و از بین رفتن تمدن رومی اروپا به یک خواب غفلت فرو رفت و کلیسا و امور مذهبی حاکم بر مقدرات علمی گردید. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوششهای وافر درعلم حساب کرد و چند تألیف بوئس رومی را تفسیر کرد ولی این جنبشها اولاً چندان عمیق نبود و ثانیاً با جنگهای داخلی و هجوم نرماندیها در سال
1000 میلادی متوقف گردید. از اواخر قرن دوازدهم زمینه ٔ یک انقلاب واقعی در اروپا به وجود آمد. اهالی مغرب زمین بر اثر تماس با اعراب اسپانیایی و شرق ، ریاضیات را که تا آن زمان بر ایشان روشن نبود، فرا گرفتند و افق علمی آنها تا حدی توسعه یافت ، و ضمناً با جبر هندی و هندسه ٔ یونانی نیز آشنائی پیدا کردند. در این نهضت علمی سپاهیان و مجاهدین جنگهای صلیبی و یهودیان اسپانیایی و بازرگانان ، رل اساسی ترقی علم جدید را به عهده گرفتند. شهر اشبیلیه مرکز ترجمه و تفسیرها بود و دانشمندانی چون ژیراردوص به ترجمه ٔکتب ریاضی و حساب اسلامی پرداختند. لئوناردپیز پس از گردش در افریقای مسلمان در سال
1202م . کتابی به نام لیبر عباسی نگاشت که ولوله ٔ عجیبی به راه انداخت و سهم بزرگی در انتشار جبر و ریاضی جدید داشت . به وجود آمدن دانشگاههای پاریس و اکسفورد (در انگلستان ) خود رل بزرگی در پیشرفت علم داشت . از دانشمندان این دوره که میتوان او را در هندسه ٔ تحلیلی پیشقدم دانست نیکلا اراسم است که در قوای کسری اعداد نیز کارکرد.
دوره ٔ رنسانس : پس از کشف چاپ و فرار دانشمندان از روم شرقی و تماس اروپائیان با کشورهای دیگر در اثر دریانوردی و بالاخره پیشرفت تجارت و بوجود آمدن شهرهای تجارتی و تمدن بورژوازی ، حساب و ریاضیات نیز مورد توجه واقع شد. البته حساب در این دوره محاسباتی بود که به کارهای بازرگانی میخورد. از قرن پانزدهم تا هفدهم دانشمندان ایتالیا و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی و جبر و مکانیک ترقیات شایانی کردند. لوکادیبرگو معروف به پاسیلی و لئونارددونسی و تارتاگلیا و کاردان و فراری از ایتالیا و پورباخ و رژیومن تانوس و ورنر و ستیفل از آلمانها هستند. در بین این دانشمندان ایتالیایی بزرگانی به مکانیک و فضلائی به جبر توجه داشتند. ولی آلمانها بیشتر نظرشان به محاسبات نجومی بود. در قرن شانزدهم در فرانسه ، ویت (
1540-
1603 م .) مخبر شورای دولتی پارلمان و مشاور هانری چهارم به وجود آمد که جبر جدید را ترقی داد و متد سمبولیسم را بوجود آورد و مثلثات را نیز تکمیل کرد و در هندسه نیز علاقمندی خاصی نشان داد. بلژستون معاصر ویت در محاسبات مکانیکی زحمت کشید و کسر اعشار را معمول کرد، و نخستین بار توزین را با سیستم اعشاری معمول نمود، ژیرارد که پرتستان بود و به بلژیک پناهنده شده بود کارهای ویت و ستون را تعقیب کرد. در قرن هفدهم دوره ٔ کلاسیک تاریخ ریاضیات ترقی شایانی کرد. دانشمندان چون گالیله و کپلر و دکارت و فرما و پاسکال لایب نیز و نیوتون و هویگنس است . دکارت فیلسوف معروف فرانسوی روش جبری را در هندسه به کار برد و هندسه ٔ تحلیلی را بوجود آورد و در جبر نظریات جدیدی آورد و نظریه ٔ معادلات را نیز اصلاح کرد. فرما (
1601-
1665 م .) عضو پارلمان تولوز از نوابغ است . او تمام بیکاریهای خود را وقف ریاضی نمود و همه ٔ آثارش در مراسلات و یادداشتهای پراکنده ای است که از او باقی مانده و یا در حواشی کتب است . او اساس هندسه ٔ بی نهایت کوچک را ریخت و در حساب احتمالات با پاسکال همکاری کرد و در تئوری اعداد کارهای ذی قیمتی انجام داد و طبق ادعای خود بر حاشیه ٔ یکی از کتابهایش ، راه حل کلی معادله ٔ زیر را یافته است ولی متأسفانه آن را ننوشته است :
Zn = Yn+ Xn
پاسکال (
1623-
1662 م .) نابغه ٔ فرانسوی در شانزده سالگی کشفیات معروف خود را در مخروطات کرد و در
1642م . اولین ماشین حساب را اختراع کرد. و بعد با کمک فرما حساب احتمالات را بوجود آورد، ولی کار عمده اش در حساب بی نهایت کوچک است کاوالیری ایتالیائی ایده ٔ ارشمیدس را به نام هندسه ٔ غیرقابل تقسیم ها مورد مطالعه قرار داد و در حساب بی نهایت کوچک ها تحقیقات رسائی کرد. لایب نیز فیلسوف و ریاضیدان معروف آلمانی با کشف حساب جامع و فاضل اساس محاسبات آنالیز را ریخت و با حساب دیفرانسیل خود که تا حدی مربوط به فلسفه ٔ مونادهای اوست ، علم ریاضی را تکانی شدید داد معاصر لایب نیز فیلسوف انگلیسی به نام نیوتون ضمن تفکر در مکانیک آسمانی و حرکات سیارات به همان محاسبات بی نهایت کوچک لایب نیز رسید ورساله ٔ خود را در تحت عنوان حساب فلاکسیون انتشار داد و جاذبه ٔ عمومی را یافت و مکانیک سماوی را به حد زیادی جلو برد. منازعات اوبا لایب نیز و اتهاماتی که درباره ٔ حساب جامع و فاضل به یکدیگر زده اند بسیار شنیدنی است . هویگنس هلندی درتکمیل مکانیک استدلالی کارهای نیوتون را تعقیب کرد وحساب انتگرال را بسط داد. جان والیس انگلیسی در سال
1655م . حساب سریهای ریاضی را مورد بحث قرار داد و کارهای خود را منتشر نمود.در قرن هجدهم در انگلستان تایلور و ماکلرن پیدا شدند که در حسابهای سری و بسط آنها کارهای فراوان نمودند. و همچنین موار پرتستان فرانسوی در محاسبات جدید ریاضی زحمات فراوان کشید. اوپیتال و ژاک اول و ژان اول از خاندان برنولی و اولر (
1707-
1783 م .) هم در بسط محاسبات لایب نیز کار کردند و از هریک فرمولهای معروفی در ریاضیات عالی باقی مانده است . دالامبر در رساله ٔ مکانیک خود مکانیک را با دخول حساب انتگرال بسط داد و در جبر اصل معروف زیر را یافت : هر معادله ٔ درجه ٔ
nام دارای
n ریشه است . کلرو رقیب دالامبر در رساله ٔ معروف خود، مکانیک سماوی و حساب بی نهایت کوچکهارا بسط داد. در قرن نوزدهم ریاضی دانهای معروف فرانسوی چون لاگرانژ و لاپلاس و لژاندر و مونژ و فوریه پیشرفتهای درخشانی به علم ریاضی دادند. لاگرانژ در تورن متولد شد و با شاگردی در آکادمی تورن به مطالعات ریاضی پرداخت بعدها استاد دانشگاه برلن شد و سپس به پاریس رفت ، براساس کارهای دلامبر مکانیک تحلیلی را بوجود آورد و در تئوری توابع تحلیلی عمل تجزیه ٔ حساب بی نهایت کوچک ها را به نتیجه رسانید. لاپلاس ابتدا در دانشسرای عالی فرانسه معاون لاگرانژ بود و سپس خود در نجوم و حساب احتمالات کار کرد و محاسبات ناتمام نیوتون را به انتها رسانید. مونژ نابغه ٔ ریاضی و استاد هندسه ٔ ترسیمی فرانسوی هندسه ٔ بینهایت کوچکها را در فضای سه بعدی معمول کرد و به نظریه ٔ معادلات با مشتقات جزئی پیشرفتهای قابل تحسین داد، و بالاخره اصل معروفش در قضایای موهومی راجع به کمّیّات موهوم یکی از اصول معروف حساب اعداد موهومی است . لژاندر در آنالیز و نظریه ٔ راجع به اعداد زحمات فراوان کشید.
در دوره ٔ بین سالهای
1815 و
1870 م . بزرگان ریاضی ظهور کردند که با کشفیات خود در علم حساب جامع و فاضل و سپس همکاریهای مستقیم با علم فیزیک ، علم ریاضی و فیزیک را پیشرفت زیاد دادند. معروفترین آنها در این دوره آمپر و لامه و بالاخره فوریه است . این شخص محاسبات بسیاری در زمینه ٔ حرارت انجام داده است که از نظر ریاضی و فیزیک بسیار قابل توجه است . ظهور گوس در آلمان و مطالعات دقیق او باعث پیشرفت هندسه و حساب اعداد موهومی شد. او سرانجام به تئوری اعداد مختلط رسید. کوشی (
1789-
1857م .) فرانسوی در علوم ریاضی زحمات فراوان کشید و در توسعه ٔ محاسبات سری ها و حساب انتگرال و توابع متغیر مختلط رساله های باارزش منتشر کرد. در آن ایام ریمن و ویرشتراس و هرمیت و دو نابغه ٔناکام ؛ آبل و گالوا زحمات شایان توجهی در محاسبات جامع و فاضل و مبادلات دیفرانسیلی کشیدند.
در ختم مقال راجع به این دوره باید بگوئیم آبل و گالوا اگرچه در زمان حیات خود مورد توجه نبودند ولی پس از مرگ و انتشار رساله های علمیشان ، هندسه ٔ تحلیلی در آلمان و هندسه ٔ بی نهایت کوچکها در فرانسه ترقیات شایان کرد. البته در اینجا باید محاسبات دقیق نابغه ٔ انگلیسی هامیلتون (
1805-
1865 م .) که سرانجام کاترنیون را به وجودآورد، مورد توجه قرار داد. نظریه ٔ معادلات کامل درباره ٔ اعداد مختلط نیز در بین این سالها بوسیله کوشی وستورم و لیویل بسط وافی یافت . دیریکله درباره ٔ سریهای مثلثاتی و معادلات بامشتقات جزئی ، و ریمن نیز نظریه ٔ توابع را بسط داد. و کارهای این دو در ریاضیات عالی بسیار باارزش میباشد. محاسبات ریاضی از
1870م . تا اواخر قرن نوزدهم و اوائل قرن بیستم پیشرفت داشت . دو نابغه ٔ علمی ؛ یکی ژرژ کانتر و دیگر هانری پوانکاره با زحمات فراوانی که در ریاضیات کشیدند تحولات علمی این دوره را هدایت کردند، در این دوره ددکند آلمانی با تئوری «برش » خود وضع عدد اصم را روشن کرد. نظریه ٔ مجموعه ای که بوسیله ٔ کانتر بوجود آمد با سرعت زیاد پیشرفت کرد. این تئوری که مطالب بطور کلی مختلف اعم از محسوس یا غیرمحسوس را دسته بندی میکند، مبنای جدیدی در پژوهشهای ریاضی بوجود آورد. کانتر به کمک این ادراک ، اصول نظریه ٔتوابع را عمومیت داد و راه جدید تحقیقات ریاضی را معین کرد، مطالبی را که تا آن زمان جزو استثناآت ریاضی بود داخل ریاضی کرد. مطالعه ٔ مجموعه های بی نهایت در
1883م . اعداد صحیح را در بین رشته ٔ بی نهایت اعداد قابل شمارش و نقاط واقع در روی یک پاره خط از دسته ٔ بی نهایت اعداد غیرقابل شمارش مشخص نمود. قسمت عمده ٔ محاسبات ریاضی در آلمان ، محاسبات ویرشتراس ، ددکند، کانتر، و در فرانسه ، تانری ،ژردان و بر ، با نظریه ٔ بی نهایت کوچکها تحت اختیارآنالیز گذاشته شد. آنچه که مبهم بود و تردیدآمیز به نظر می رسید حذف شد و تصورات مختلف با ایده ٔ اساسی (اعداد صحیح ) ربط پیدا کرد. داوید هیلبرت آلمانی در همین دوره در تئوری راجع به بی نهایت کار کرد و اصول منطق ریاضی را پی ریزی کرد، بعدها پآنو ایتالیائی و برتراند راسل انگلیسی در این منطق کار کردند و برای ریاضی یک قسم منطق عالی ایجاد نمودند. کارهای هانری پوانکاره درباره ٔ نظریه ٔ توابع و معادلات با مشتقات جزئی و توسعه ٔ مکانیک و فیزیک ریاضی یک تصور کلاسیک و منظمی در ریاضی بوجود آورد. از کشفیات بنام «پوانکاره » توابع فوشین است که در سال
1882م . منتشر کرد، و نیز توابع بیضوی را عمومیت داد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را یافت . پیشرفتهای نظریه ٔ «مجموعه » و نتایج دقیق آن و کوشش ها درباره ٔ معادلات دیفرانسیل و معادلات با مشتقات جزئی و بوجود آمدن حساب جدید و بسیار عمومی آنالیز فنکسیونل و پیشرفت جبر در فیزیک نظریه ٔ نسبی و مکانیک کوانتا ومکانیک موجی را به وجود آورد و اشکالات و استثناآت قدیمی را حل کرد. در اواخرقرن نوزدهم تا اواسط قرن بیستم دانشمندان بزرگ در فیزیک و کاربرد ریاضی در فیزیک کار کردند و باعث ترقی فیزیک ریاضی شدند. در انگلستان ستوک ، گرین ، کلوین ، ماکسول ، پارسون و ادینگتون و در آلمان کارهای دیریکله و ددکند و کانتر و شوارز و نومان و هیلبرت و ویل و لرانتز باعث پیشرفت توابع تحلیلی و مجموعه ها و فیزیک نظری شد. ایتالیائی ها بخصوص در حساب فنکسنویل و حساب تانسریل و «توابع چندمتغیری » مطالعه نمودند و دانشمندان آنها چون ولترا ، ریسی و لوی سیویتا ، پآنو، انریگس و دینی و کاستلنوو بسیار معروفند در کشورهای شمالی اروپا متیاگ لوفله و فردهلم و لی و نوانلینوا و پلانک و بوهر زحمات زیادی در پیشرفت علوم مثبته و ریاضی کشیده اند. آپل ، گورسا ، داربو ، کنیگ و پیکار در زمینه ٔ تئوریهای توابع و قسمتهای مختلف انالیز عالی زحمات فراوانی کشیده اند. در زمینه ٔ نظریه ٔ مجموعه و پیش بردن متد نوین ؛ پنلوه ، بورل ، هادامار و بوترو زحمات فراوان کشیده اند.البته در این روزها محاسبات فضائی و محاسبات فیزیک اتمی ترقیات شایانی کرده است ، در زمینه ٔ قسمت اول کارهای دانشمندان روسی و امریکائی و در قسمت دوم علاوه بر زحمات دانشمندان دو کشور مذکور از کارهای انگلیسیها و فرانسویها و هندیها باید نام برد. البته مخفی نخواهد ماند که در غالب مباحث دو رشته ٔ فوق دانشمندان آلمانی که بر اثر جنگ مرکزیت خود را از دست داده اندزحمات شایان تقدیری کشیده اند. (اقتباس از تاریخ حساب ونه تاتون گاموف گردو، انریکس )
: شغل امور وزارت و حساب ، بوالخیر بلخی میراند. (تاریخ بیهقی ). پیش آفتاب ذره کجا در حساب آید. (تاریخ بیهقی ). ابوالقاسم کثیر از عهده ٔ شغل بیرون نیامده است . حساب او پیش باید گرفت . (تاریخ بیهقی ص
395). خواجه وی
